河北省唐山一中2012-2013学年高二上学期期中考试数学(理)试题

2012—2013学年度上学期期中考试

高二数学理试题

说明：

1. 考试时间120分钟，满分150分.

2. 将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上. 3. Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位.

卷Ⅰ(选择题 共60分)

一. 选择题（共12小题，每小题5分，共计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的）

1.直线x=0的倾斜角的大小为（ ） A．0 B.

 C . D .不存在 22.下列说法不正确的是 （ ） ．．．

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B．同一平面的两条垂线一定共面；

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

3.命题p：若ab0，则a与b的夹角为钝角.命题q：定义域为R的函数f(x)在(,0)及(0,)上都是增函数，则f(x)在(,)上是增函数. 下列说法正确的是（ ） A.是真命题 “p或q”B.是假命题 C.为假命题 D.为假命题 “p且q”“p”“q”4.一个空间几何体的三视图(单位:cm)如右图所示， 则该几何体的体积为( )cm． A．8 B.

322主视图侧视图84 C . D.4 3325.抛物线yax(a0)的焦点坐标是( ). A. (

6.双曲线kx4y4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( ) A.（-∞,0） B.(-3,0) C.(-12,0) D.(-12,1)

221111a, 0) B.(0, a) C.(0, ) D.(0,－) 224a4a俯视图

7.设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C:xy2x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为 A．1

B．（ ） D．3

223 2C．23 8.抛物线x2=4y的焦点为F，点A的坐标是(－1, 8)，P是抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ） A.8 B.9 C.651 D.10 9.如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB//CD，BAD90，PAADDC2，AB4.则点A到平面PBC的距离是( )

PADCBA.

6626 B. C. D.26 323x2y210.与双曲线1有共同的渐近线，且经过点A(3,23)的双曲线的一个焦点到一

916条渐近线的距离是 ( ) A．8 B .4 C .2 D.1

11.设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两

1

个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）．

8A.,13312112, C., D. , B.

3333222212.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，

PAD900，且PAAD2,E,F分别是线段PA,CD的中点.

则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ） A.

PEAFBCD3333 B. C. D. 3246

卷Ⅱ(非选择题 共90分)

二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分；把答案写在题中横线上） 13.是“直线(m2)xmy10与直线(m2)x(m2)y30相互垂直”“m2”的________条件（“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）. 14.如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1C与BC1所成的角大小为_____.

15.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是______.

16.已知直线l平面,直线m平面，有下面四个命题： （1）//lm;（2）l//m; （3）l//m;（4）lm//.

其中正确的命题的题号为_______. 三. 解答题（本大题共6小题；解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）

A1DD1B1C1CBA17.（本题满分10分）已知命题p:“x[1,2]，xlnxa0”与命题q: 都是真命题，求实数a的取值范围. “xR，x2ax86a0” 18．（本题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4， G为PD中点，E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC. （Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；

P （Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；

（Ⅲ）求直线AC与平面PCD所成角.

G

A D

E C B

19.（本题满分12分）已知动点P(x,y)与两定点M(1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数

2122(0).

(I) 求动点P的轨迹C的方程；

(II) 试根据的取值情况讨论轨迹C的形状.

x2y220. （本题满分12分）已知：椭圆221（ab0），过点A(a,0)，B(0,b)ab的直线倾斜角为

3，原点到该直线的距离为．

26（1）求椭圆的方程；

（2）斜率大于零的直线过D(1,的方程.

21.（本题满分12分）已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线x(p是正常数)的距离为d1，到点F(，0)的距离为d2，且d1d21． (1)求动点P所在曲线C的方程；

(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线l1:x对应的垂足分别为M、N，求证:FMFN.

0)与椭圆交于E，F两点，若ED2DF，求直线EFp1 2p2p的垂线，2x2y222.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C:221(ab0)ab左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，

10过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为.

3（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q(t,m)是直线x9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点 M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标.

参考答案

一．选择题

1-5 BDBBC 6-10 CDBCA 11-12 CD 二．填空题

13. 充分不必要 14.90 15.[3,3] 16.（1）（3）

三．解答题

17.(,4][2,]

18. （Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG， 又PD⊥AG

∴AG⊥平面PCD „„„„4分

（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD ∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC， ∴AG∥平面PEC „„„„„„4分

（Ⅲ）连接CG

12AGCG,则ACG为所求的角。AG1AC，ACG302………………….4分

19. （Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零

所以

x2KPMKPNyyx1x1

y2整理得

1（λ≠0，x≠±1） （4分）

（Ⅱ）①当0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点） ②当10时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴 两个端点）

③当1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(－1，0)，(1，0) ④当1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个 端点） „„„„.12分 20. 1）由

b3113a2b2 ，得a3，b1， ，ab222a3x2y21„„„„„„„„4分 所以椭圆方程是：3x2y21，得(m23)y22my20， （2）设EF：xmy1（m0）代入3设E(x1,y1)，F(x2,y2)，由ED2DF，得y12y2．

2m22，„„„„„„„„8分 yy2y122m23m232m21得(2，m1，m1（舍去），（没舍去扣1分） )2m3m3由y1y2y2直线EF的方程为：xy1即xy10„„„„„„„„12分 21. 设动点为P(x，y)， 1分 依据题意，有

|xpp1|(x)2y21，化简得y22px． 4分 22因此，动点P所在曲线C的方程是：

y22px． „„„„„„„„6分

(2) 由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，

故可设直线l：xmy1，如图所示． 8分

y22px22联立方程组，可化为y2mpyp0， pxmy2则点A(x1，y1)、B(x2，y2)的坐标满足y1y22mp2y1y2p． 10分

p又AMl1、BNl1，可得点M(p，y1)、N(，y2)．

22于是，FM(p，y1)，FN(p，y2)，

因此FMFN(p，y1)(p，y2)p2y1y20． 12分

2545221a2922. （1）依题意，椭圆过点(2,)，故a9b，解得2。„„„„„„„„„„（3

322b5ab4分）

x2y2椭圆C的方程为1。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（4分）

95m y （2）设Q(9,m)，直线QA的方程为y(x3)，„„„„„（5分） 12 M 代入椭圆方程，得(80m2)x26x9m27200， „„（6分）

A O B 9m27202403m2设M(x1,y1)，则3x12，„（7分） x1 N m80m280 Q 9 x mm2403m240m2403m240m，故点M的坐标为(2 y1(x13)(23)2,2)。„„„（8分）

1212m80m80m80m80m同理，直线QB的方程为y(x3)，代入椭圆方程，得(20m2)x26x9m21800，

6设N(x2,y2)，则3x2可得点N的坐标为(①若

2403m2m8029m2180m220,x220m3m260m220，y2mm3m26020m。 (x23)(23)266m20m203m260m220m220 )。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（10分）

23m260m202m240时，直线MN的方程为x1，与x轴交于(1,0)点；

②若m40，直线MN的方程为y(x2)，

m22040m2m20令y0，解得x1。综上所述，直线MN必过x轴上的定点(1,0)。„„„„„„„（12分）

20m10m3m260