静电场复习讲义

静电场

【考点透视】

一、库伦定律与电荷守恒定律

1．库仑定律

（1）真空中的两个静止的点电荷之间的相互作用力与它们电荷量的乘积成正比，与它们距离的二次方

成反比，作用力的方向在他们的连线上。

（2）电荷之间的相互作用力称之为静电力或库伦力。

（3）当带电体的距离比他们的自身大小大得多以至于带电体的形状、大小、电荷的分布状况对它们之

间的相互作用力的影响可以忽略不计时，这样的带电体可以看做带电的点，叫点电荷。类似于力学中的质点，也时一种理想化的模型。 2．电荷守恒定律

电荷既不能创生，也不能消失，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到物体的另一部分，在转移的过程中，电荷的总量保持不变，这个结论叫电荷守恒定律。

电荷守恒定律也常常表述为：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和总是保持不变的。 二、电场的力的性质

1．电场强度

（1）定义：放入电场中的某一点的检验电荷受到的静电力跟它的电荷量的比值，叫该点的电场强度。

该电场强度是由场源电荷产生的。

（2）公式：EF q （3）方向：电场强度是矢量，规定某点电场强度的方向跟正电荷在该点所受静电力的方向相同。负电

荷在电场中受的静电力的方向跟该点的电场强度的方向相反。 2．点电荷的电场

（1）公式：EKQ 2r（2）以点电荷为中心，r为半径做一球面，则球面上的个点的电场强度大小相等，E的方向沿着半径向里（负电荷）或向外（正电荷） 3．电场强度的叠加

如果场源电荷不只是一个点电荷，则电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。 4．电场线

（1）电场线是画在电场中的一条条的由方向的曲线，曲线上每点的切线方向，表示该点的电场强度的方向，电场线不是实际存在的线，而是为了描述电场而假想的线。 （2）电场线的特点

电场线从正电荷或从无限远处出发终止于无穷远或负电荷；电场线在电场中不相交；在同一电场里，电场线越密的地方场强越大；匀强电场的电场线是均匀的平行且等距离的线。 三、电场的能的性质

1．电势能

电势能：由于移动电荷时静电力做功与移动的路径无关，电荷在电场中也具有势能，这种势能叫做电势能。 2．电势

（1）电势是表征电场性质的重要物理量，通过研究电荷在电场中的电势能与它的电荷量的比值得出。

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（2）公式：EP （与试探电荷无关） q（3）电势与电场线的关系：电势顺线降低。

（4）零电势位置的规定：电场中某一点的电势的数值与零电势点的选择无关，大地或无穷远处的电势默认为零。 3．等势面

（1）定义：电场中电势相等的点构成的面。

（2）特点：一是在同一等势面上的各点电势相等，所以在同一等势面上移动电荷，电场力不做功二是电场线一定跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。 4．电场力做功

（1）电场力做功与电荷电势能变化的关系：

电场力对电荷做正功，电荷电势能减少；电场力对电荷做负功，电荷电势能增加。电势能增加或减少的数值等于电场力做功的数值。 （2）电场力做功的特点：

电荷在电场中任意两点间移动时，它的电势能的变化量势确定的，因而移动电荷做功的 值也势确定的，所以，电场力移动电荷所做的功与移动的路径无关，仅与始末位置的电势差由关，这与重力做功十分相似。 四、电容器、电容

1．电容器

任何两个彼此绝缘又相隔很近的导体都可以看成是一个电容器。（最简单的电容器是平行板电容器，金属板称为电容器的两个极板，绝缘物质称为电介质） 2．电容

（1）定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值

表达式：CQ U（2）平行板电容器电容公式：C五、带电粒子在电场中的运动

1．加速：quS 4Kd1122mv2mv1 22L vqul mdv02．偏转：当带点粒子垂直进入匀强电场时，带电粒子做类平抛运动 粒子在电场中的运动时间 t粒子在y方向获得的速度vyqul2粒子在y方向的位移y 22mdv0粒子的偏转角：arctanqul 2mdv0【例题解析】

例1． 如图所示，质量为m，带电量为q的粒子，以初速度v0，从A点竖直向上射入真空中的沿水平方

向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB=2v0，方向与电场的方向一致，则A，B两点的电

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势差为：

【解析】在竖直方向做匀减速直线运动2gh=v02① 电场力做正功、重力做负功，粒子的动能从根据动能定理

122，则 mv0变为2mv02②

例2．一根对称的“八字”形玻璃管置于竖直平面内，如图所示。管所在的空间有竖直向下的匀强电场，电

场强度E=1000牛/库。重力G＝1.0×10-3牛，带电量Q= -2×10-6库的小物体在管内从A点由静止开始运动，它与管壁摩擦系数为0.5，管长AB=BC=3米，管的B处为一极短的光滑圆弧，管AB和BC与水平方向所夹的角度皆为37°,问 （1）小物体最终静止在何处？ （2）从A开始计算时，小物 体运动的总路程是多少？ 【解析】A—B，作匀加速运动 B—C，作匀减速运动，

由于有机械能损失，到不了C点就停止，接

着返回作匀加速运动，过B点又作匀减速动， …最后停在B点. 由动能定理，对全过程， L=AB=BC=3米 μ =0.5

(qE-mg)Lsin370- μ(qE-mg) cos370S=0 S=0.6 L /（0.5×0.8） =1.8/0.4=4.5m

例3．1000eV的电子流在两极板中央斜向上方进入匀强电场，电场方向竖直向上，它的初速度与水平方向

夹角为30°，如图为了使电子不打到上面的金属板上，应该在两金属板上加多大电压U？

【解析】电子流在匀强电场中做类似斜抛运动，欲使电子刚好不打金属板上，则必须使电子在d／2内竖直方向分速度减小到零，设此时加在两板间的电压为U，在电子流由C到A途中，

电场力做功We=EUAC，由动能定理

B+

至少应加500V电压，电子才打不到上面金属板上。 例4、 如图，一个电子以速度v0=6.0×106m／s和仰角α=45°从带电平行板电容器的下板边缘向上板飞行。

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两板间场强E=2.0×104V／m，方向自下向上。若板间距离d=2.0×10-2m，板长L=10cm，问此电子能否从下板射至上板？它将击中极板的什么地方？

【解析】应先计算y方向的实际最大位移，再与d进行比较判断。

由于ym＜d，所以电子不能射至上板。

因此电子将做一种抛物线运动，最后落在下板上，落点与出发点相距1.03cm。

小结：斜抛问题一般不要求考生掌握用运动学方法求解。用运动的合成分解的思想解此题，也不是多么困难的事，只要按照运动的实际情况把斜抛分解为垂直于电场方向上的的匀速直线运动，沿电场方向上的坚直上抛运动两个分运动。就可以解决问题。

例5、一个质量为m，带有电荷-q的小物块，可在水平轨道OX上运动，O端有一与轨道垂直的固定墙，

轨道处于匀强电场中，场强大小为E，方向沿OX轴正方向，如图所示，小物体以初速v0 从离O点为x0处沿OX轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f作用，且f＜qE。设小物体与墙碰撞时不损失机械能且电量保持不变。求它在停止运动前所通过的

E 总路程s。

【解析】设小物块从开始运动到停止在O处的往复运动过程中位移为x0，往返路

O 程为s。根据动能定理有

1qEx0fs0mv2

2X0 X 2qEx0mv2解得S

2f小结：本题考查两点内容一是要分析出物体最终停下来的位置，二是要学会能量分析。

例6、如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固

定的正点电荷，B为AC的中点，C点位于圆周的最低点。现有一质量为m、电荷量为-q、套在杆上的带负电小球从A点由 静止开始沿杆下滑。已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高

度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2gR。求： （1）小球滑至C点时的速度的大小； （2）A、B两点的电势差UAB；

（3）若以C点作为零电势点，试确定A点的电势。 【解析】

(1) B—C 3mgR/2=mvc2/2-mvB2/2 vc=7gR

(2) A—B 3mgR/2+WAB=mVB2/2-0 WAB=mgR/2 UAB=WAB/q=mgr/-2q

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3R A B R + C 静电场复习讲义

(3) UAB=UAC=-mgR/2q=AC AUACC=-mgR/2q

例7、如图甲所示，A、B为两块靠得很近的平行金属板，板中央均有小孔。一束电子以初动能Ek=120ev，

－

从A板上的小孔O不断垂直于板射入A、B之间，在B板右侧，平行金属板的板长L=2×102m，板

－

间距离d=4×103m，两板上所加电压为U2=20V。现在在A、B两板上加一个如图乙所示的变化电压U1，在t=0到t=2s时间内，A板电势高于B板，则在U1随时间变化的第一个周期内

（1）电子在哪段时间内可以从B板小孔射出？ （2）在哪段时间内，电子能从偏转电场右侧飞出？

（由于A、B两板距离很近，可以认为电子穿过A、B板间所

用时间很短，可以不计） 【解析】（1）能射出B板，要求电子达到B板时速度大于或等于零，由动能定理得

12 U1120V eU10mv02AB两板所加电压在0—1s区间里

有U=200t 故U1200t1 t10.6s 由于电压图像的对称性，另一对应时

刻t21.4s在下半周期，电场力做正功电子均能射出，所以能射出的时间段为0—0.6s 及1.44s

2eUUeL1L222v（2）设电子从偏转电场中垂直射入时速度为0，那么侧移是y ()2mdv04dEkdU2eL2dy才能射出 

24dEk2Ek250ev 又EkeU1Ek0eU1120eV

120eVeU1250eV U1130V 又因t113022.65s

200t241303.35s 所以在2.65—3.35s内有电子射出。 200例8、如图所示，在厚铅板A表面中心放置一很小的放射源，可向各个方向放射出速率为v0 的粒子（质

量为m，电量为q），在金属网B与A板间加有竖直向上的匀强电场，场强为E，A与B间距为d，B

网上方有一很大的荧光屏M，M与B间距为L，当有粒子打在荧光屏上时就能使荧光屏产生一闪光点。整个装置放在真空中，不计重力的影响，试分析： （1）打在荧光屏上的粒子具有的动能有多大？ （2）荧光屏上闪光点的范围有多大？

（3）在实际应用中，往往是放射源射出的粒子 的速率未知，请设计一个方案，用本 装置来测定粒子的速率。

【解析】（1）粒子在电场中作加速运动，电场力作正功， 打在荧光屏上的粒子且有动能，EkB5 / 11

1212mvBmv0qEd 2212mv0qEd 2静电场复习讲义

（2）当粒子初速度与电场线垂直时，作类平抛运动，沿电场线方向

aqE12 dat m2qEqE2mdqE

到达B板所用时间为t12md1

vBg2ad vBg22dqE12mdqE mmvBgL2qEd2mdqE

从B板到达M板所用时间为t2L粒子运动总时间tt1t22dL2mdqE

2qEd荧光屏上闪光范围是一个圆,其半径R=v0tv0(2dL)2mdqE

2qEd（3）由前问题可知，荧光屏上闪光范围是一个圆，其半径与粒子的初速度成正比。

R测得圆的半径R，可计算出粒子的初速度 v02mdqE

m(2dL)或将AB间电场反向，电场力对粒子做负功，逐渐增大电场强度，当荧光屏上闪光消失时，粒子初动能全部用来克服电场力做功。

1212mdqE mv0qEd v0m2

【专题训练与高考预测】

1．如图所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间距离等于b、c间距离，

用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和场强，可以判定 （ ）

A．φa＞φb＞φc B．Ea＞Eb＞Ec C．φa –φb=φb –φc D．Ea = Eb = Ec

2．如图所示，平行的实线代表电场线，方向未知，电荷量为1×10-2C的正电荷在电场中只受电场力作用，

该电荷由A点移到B点，动能损失了0.1 J，若A点电势为 （ ） 10V，则 A．B点电势为零 B．电场线方向向左

C．电荷运动的轨迹可能是图中曲线a D．电荷运动的轨迹可能是图中曲线b

3．如图所示，细线拴一带负电的小球，球处在竖直向下的匀强电场中，使小球在竖直平面内做圆周运动，则 （ ）

A．小球不可能做匀速圆周运动

B．当小球运动到最高点时绳的张力一定最小 C．小球运动到最低点时，球的线速度一定最大 D．小球运动到最低点时，电势能一定最大

4．如图所示，a、b和c分别表示点电荷的电场中的三个等势面，它们的电势分别为6V、

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4V和1.5V。一质子(1H)从等势面a上某处由静止释放，仅受电场力作用而运动，已知它经过等势面b时的速率为v，则对质子的运动有下列判断，正确的是（ ）

A．质子从a等势面运动到c等势面电势能增加4.5eV B．质子从a等势面运动到c等势面动能增加4.5eV C．质子经过等势面c时的速率为2.25v D．质子经过等势面c时的速率为1.5v

5．如图所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同，实线为一个带电的质点

在仅受电场力作用下，通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法中正确的是（ ） A．三个等势面中，等势面a的电势最高 B．带电质点一定是从P点向Q点运动 b c C．带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时小

a D．带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小

6．如图所示，一带电粒子从平行带电金属板左侧中点垂直于电场线以速度v0射入电场中，恰好能从下板

边缘以速度v1飞出电场。若其它条件不变，在两板间加入垂直于纸面向里的匀强磁场，该带电粒子恰能从上板边缘以速度v2射出。不计重力，则 （ ）

22A．2v0= v1+v2 B．v0=(v1v2)/2

1m q

v0 C．v0=v1v2

D．v07．如图所示，水平固定的小圆盘A带电荷量为Q，电势为零，从盘心处O释放一质量为m、

带电荷量为+q的小球.由于电场的作用，小球竖直上升的高度可达盘中心竖直线上的C点，OC=h，又知道过竖直线上B点时，小球速度最大.由此可确定的Q形成的电场中的物理量是：①B点的场强

②C点的场强 ③B点的电势 ④C点的电势 （ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

8．质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，且处在场强为E的匀强电场中，当小球A静止时，细线

与竖直方向成30°角，已知此电场方向恰使小球受到的电场力最小，则小球所带的电量应为 （ ）

A．

C．

3mg 3EB．

3mg E2mgmg D． E2E

9．如图所示，带箭头的直线表示某电场的电场线，虚线表示等势线，一个带负电的粒子以一定初速度进

入电场，由A运动到B（轨迹为图中AB 实曲线所示）．设粒子经过A、B两点时的加速度和动能 分别用aA、aB、EA、EB表示，则（不计粒子重力）（ ） A．aA＞aB B．aA=AB C．EA＞EB D．EA＜EB

10．如图所示，用长L=0.50m的绝缘轻质细线，把一个质量m=1.0g带电小球悬θ L 挂在带等量异种电荷的平行金属板之间，平行金属板间的距离d=5.0cm，两板间电压U=1.0×103V。静止时，绝缘线偏离竖直方向θ角，小球偏离竖直距离a=1.0cm。（θ角很小，为计算方便可认为- 7 / 11

a d +

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tanθ≈sinθ，取g=10m/s2，需要求出具体数值，不能用θ角表示）求：

（1）两板间电场强度的大小； （2）小球带的电荷量。

（3）若细线突然被剪断，小球在板间如何运动？

11．如图所示，A、B为不带电平行金属板，间距为d，构成的电容器电容为C．质量为m、电量为q的带

电液滴一滴一滴由A板小孔上方距A板高h处以v0初速射向B板．液滴到达B板后，把电荷全部转移在B板上．求到达B板上的液滴数目最多不能超过多少？

12．在方向水平的匀强电场中，绝缘细线的一端连着一个质量为m的带电小球，另一端悬挂于O点。将

小球拿到A点（此时细线与电场方向平行）无初速释放，已知小球摆到B点时速度为零，此时细线与竖直方向的夹角为θ=30°，求： （1）小球的平衡位置。

（2）小球经过平衡位置时细线对小球的拉力。

13．如图所示为一真空示波管，电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A

板间的加速电压U1加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L1，板右端到荧光屏的距离为L2，电子的质量为m，电荷量为e。求： （1）电子穿过A板时的速度大小；

A M （2）电子从偏转电场射出时的侧移量； d N （3）P点到O点的距离。

L1 L2 U

14．如图所示，M、N是水平放置的一对金属板，其中M板中央有一个小孔O，板间存在竖直向上的匀强

电场.AB是一长9L的轻质绝缘细杆，在杆上等间距地固定着10个完全相同的带正电小球，每个小球的电荷量为q、质量为m，相邻小球距离为L.现将最下端小球置于O处，然后将AB由静止释放，AB在运动过程中始终保持竖直.经观察发现，在第4个小球进入电场到第5个小球进入电场这一过程中AB做匀速运动。求： （1）两板间电场强度E；

（2）上述匀速运动过程中速度v的大小.

15．质量为m、带电量为－q的粒子（重力不计），在匀强电场中A点的瞬时速度为v，方向与电场线垂直，

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P O

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在B点的速度为2v，如图所示。已知A、B两点间的距离为d，求：（1）A、B两点的电势差。（2）电场强度的大小和方向。

参考答案

1．A （只有一条电场线，不能确定具体的电场，无法比较电场强弱及两点间的电势差）

2．ABD （正电荷从A点移到B点，动能减少，电场力做负功，电势能增加，电势升高，

UBA=

W0.1V=10 V=φB-φA.得φB=0.电荷所受电场力方向向左，轨迹为曲线b.） q11023．D 当mg=qE时可以做匀速圆周运动，最高点和最低的向心力是拉力、重力和电场力的合力 4．BD（质子由高电势向低电势运动，动能增加，电势能减少；由动能定理得，BD正确。）

5．D（考查等势面电场线等知识，与动能定理结合。画一条场线如图，由带电质点轨迹的弯曲方向可知受

力方向，但不知场线方向，故无法判断电势的高底。若质点是从P至Q运动，电场场力做正功，动能增加，质点通过P点时的动能比通过Q点时小; 若从Q至P运动，电场场力做负功，动能减少，质点通过P点时的动能也是比Q点时小; 故D正确。由于三个等势面相邻等势面间的电势差相同，a、b间较密，故靠近P区域的场强，对应的加速度比通过Q点时要大。） 6．B（洛伦兹力不做功，电场力做功大小相等，由动能定理得，

W1212mv1mv0，22W1212） mv2mv0，可得B正确。

227．C 带电圆盘周围的电场既非匀强电场，又非点电荷的电场，场中某处的场强、电势只能从题给条件

中确定：对最大速度的点B有，F合B=0，即mg=qEB，可确定B点的场强；因C为最高点，所以有：mgh=qUOC，而盘A的电势为零，故：UC=0. 8．D （依题意做出带正电小球A的受力图，电场力最小时，电场力方向应与绝缘细线垂直，qE=mgsin30°，

得D正确）．

9．C 由电场线的疏密可判定B处电场强度大，故有aAEB。正确选项为C。 10．解：（1）设两板间的电场强度为E，根据匀强电场的场强和电势差的关系得：

U1.0103E==2.0×104V/m 2d5.010（2）小球静止时受力平衡 qE=mgtanθ解得q=

mgtan=1.0×10-8C E（3）小球做初速度为零的匀加速直线运动。

11．设到达B板上的液滴数目最多不超过n个，第n-1个液滴落到B板上时

电容器的电量 Qn1q 电容器两极板间的电压 U第n滴到达B板时速度刚好为0，由动能定理得

Qn1q CCC1212 解得 n2mghdmv01 mghdqU0mv022q9 / 11

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12．解：（1）小球由A运动到B根据动能定理， mgLcosθ-qEL（1+sinθ）=0 解得qE=

3mg 3设小球的平衡位置为C，悬线与竖直方向间的夹角为 α，小球受力如图，则tanα=

qE3=，α=30° mg3（2）由A到C，根据动能定理，有mgLsin60°-qEL（1-cos60°）=

12mvC 22vC43在C点，根据牛顿第二定律，有Tmgcos30qEsin30m解得 T=mg

L313．（1）设电子经电压U1加速后的速度为v0，根据动能定理得：

2eU112 e U1=mv0， 解得：v0

2m

K A d LM N Ly2 y1 P O

U1 1 2 （2）电子以速度v0进入偏转电场后，垂直于电场方向作匀速直线运动， 沿电场方向作初速度为零的匀加速直线运动。设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场运动的时间为t1，电子的加速度为a，离开偏转电场时相对于原运动方向的侧移量为y1，根据牛顿第二定律和运动学公式得：

UeU2F=eE， E=2 ， F=ma， a =t1=

dmd

2U2L112L1， y1=at1，解得： y1=

24U1dv0（3）设电子离开偏转电场时沿电场方向的速度为vy， 根据运动学公式得：vy=at1=

eU2L1 dmv0电子离开偏转电场后作匀速直线运动，设电子离开偏转电场后打在荧光屏上所用的时间为t2，电子打到荧光屏上的侧移量为y2，如图所示 t2=

ULL(2L2L1)U2L1L2， y2= vyt2 解得：y2=212P到O点的距离为 y=y1+y2=

2dU14U1dv0

14．解析：（1）由题意，当有4个小球在电场中时，电场力与重力平衡4Eq=10mg ①

E=5mg/2q. ② （2）对第4个小球刚好进入电场之前的过程应用动能定理：

10mg×3L－qE（3L+2L+L）=

1×10mv2③将②式代入③式得v=3gL. 215．解析：将运动沿vA方向（设为y）和与场平行方向（设为x）分解。

y方向为匀速运动，x方向为初速为零的匀加速运动即为类平抛运动。vBx=3v UABqUAB12mvBx0 2v3mv2 vB与y方向的夹角为θ，则tanBx3位移与y方向的夹角为φ，vBy2qvBxx133tand 又由tan。又y2+x2=d 2 ，解得x=

y2vBy22710 / 11

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21mv212由E=UAB/x 得E，方向水平向左. qUABmvBx0 vBx=3v

22qd11 / 11