2009-2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

2009~2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）答案

一．（本题满分8分）

某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解：

设事件A汽车牌照号中含有数字 PA1PA1二．（本题满分8分）

9558，所求概率为PA．…………….2分

100.4095．1…………….6分

设随机事件A，B，C满足：PAPBPC随机事件A，B，C都不发生的概率． 解：

14，PAB0，PACPBC116．求

由于ABCAB，所以由概率的非负性以及题设，得0PABCPAB0，因此有

PABC0．…………….2分

所求概率为PABC．注意到ABCABC，因此有…………….2分 PABC1PABC…………….2分

1PAPBPCPABPACPBCPABC 11414140116116038．…………….2分

三．（本题满分8分）

某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为p，0p1．求此人第6次射击时恰好第2次命中目标的概率． 解：

2次命中目标 P第6次射击时恰好第…………….2分 1次目标，第6次射击时命中目标 P前5次射击中命中…………….2分 1次目标P第6次射击时命中目标 P前5次射击中命中第 1 页 共 7 页

44112 C5p1pp5p1p．…………….4分

四．（本题满分8分）

某种型号的电子元件的使用寿命X（单位：小时）具有以下的密度函数：

1000pxx20x1000x1000 ．

⑴ 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）；⑵ 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（4分）． 解：

⑴ 设A电子元件的使用寿命大于1500小时，则

1000100020pxdxdx PAPX150．…………….4分 2xx3150015001500 ⑵ 设B电子元件的使用寿命大 PBAPABPAPX1500,于2000小时，则所求概率为PBA． X2000PAPX2000PA．…………….2分

1000100010pxdxdx而 PX200， 2xx2200020002000所以， PBAPX2000PA132．…………….2分 243五．（本题满分8分）

设随机变量X服从区间1,2上的均匀分布，而随机变量

1Y1X0X0．

求数学期望EY． 解：

EY1PY11PY1…………….2分 1PX01PX0…………….2分

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0XX pxdxpxdx012dxdx 330110 231313．…………….4分

六．（本题满分8分）

设在时间t（分钟）内，通过某路口的汽车数Xt服从参数为t的Poisson（泊松）分布，其中0为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率． 解：

Xt的分布列为PXtktkk!et，k0,1,2,．…………….2分

因此在t1分钟内，通过的汽车数为 PX1kkk!e，k0,1,2,．

由题设，PX10e0.2，所以ln5．…………….3分 因此，PX211PX201七．（本题满分8分） 设二维随机变量X,Y的联合密度函数为

fx,1y00x1,其它0y2x2500!e21e2ln511252425．…………….3分

求：⑴ 随机变量Y边缘密度函数fYy（4分）；⑵ 方差DY（4分）． 解：

 ⑴ fYyfx,ydx．

因此，当y0或者y2时，fYy0．…………….1分 当0y2时，

y2 fYyfx,ydxdx0y2．

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所以，

yfYy200y2其它 ．…………….3分

⑵ EY EY2yfYydy1220ydy2y326y04243．

yfYydy21220ydy3822…………….2分

0所以， DYEY八．（本题满分8分）

2EY2162422．…………….2分

993 现有奖券10000张，其中一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金200元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金2元．而购买每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益． 解：

设X：购买一张奖券所得的奖金． 则X的分布律为

XP 1000 110000200 101000010 100100002 100010000 所以，…………….2分 EX100011000020010100001010003210000100005100…………….4分

再令Y表示购买一张奖券的收益，则YX2，因此 EYEX2九．（本题满分8分）

两家电影院竞争1000名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响．试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%？

附：标准正态分布N0,1的分布函数x的某些数值表

x 35275（元）．…………….2分

1.96 2.06 2.17 2.33 2.38

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x 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995

解：

设甲电影院应设N个座位才符合要求．

设1000名观众中有X名选择甲电影院，则X~B1000,1．…………….1分

2由题意，PXN0.99．而 EX1000112500，DX1000212250．…………….2分

所以，PXNPXEXNEXN500DXDXPX500

250250 N5000.99…………….3分

250查表得

N500.33250536.84．

2502.33，所以有 N5002 所以，应至少设537个座位，才符合要求．…………….2分

十．（本题满分8分） 设总体X的密度函数为

fx2x0x10其它 ，

X1,X2,,Xn是从总体X中抽取的一个简单随机样本．令XnmaxX1,试求Xn的密度函数fnx． 解：

总体X的分布函数为

0x0Fxx20x1 ．…………….3分 1x1因此Xn的密度函数为 1 fnxnFxn1fxnx2n2x0x1…………….4分

0其它第 5 页 共 7 页

X2,,Xn，

2nx2n1 00x1其它 ．…………….1分

十一．（本题满分12分） 设总体X的密度函数为

fx；，x10xx ，

其中0,1为参数，X1,X2,,Xn是从总体X中抽取的一个简单随机样本．⑴ 当1ˆ（6分）时，求未知参数的矩估计量；⑵ 当1时，求未知参数的最大似然估计量ˆL（6分）． M 解：

⑴ 当1时，密度函数为

x1 fx；1，0x1x1 ，

所以，EXxfx；，dx1xx1dx1xdx1 ．…………….2分

解方程：EX1，得解：EXEX1．…………….2分

将EX替换成X，得未知参数的矩估计量为ˆM ⑵ 当1时，密度函数为

x1 fx；1，0x1x1XX1．…………….2分

，

所以，似然函数为

Lfxi；1，nxi1，xi1,i1,,n．…………….2分

i1n所以，lnLnln1lnx1x2xn． 对求导，得

lnLnlnx1x2xn．…………….2分

第 6 页 共 7 页

令

lnL0，得方程

nlnx1x2xn0．

解得 nlnx1x2xn．

nlnX1X2Xnˆ因此，的最大似然估计量为 ．…………….2分

十二．（本题满分8分） 设总体X~N,2，X1,X2,,Xn是从总体X中抽取的一个简单随机样本．X与S分

2别表示样本均值与样本方差．令TX 解：

2S2n，求ET，并指出统计量T是否为2的无偏估计量．

EX，DX2n2，…………….2分

由 DXEX2EX，得 EX2DXEX22n．…………….2分

2又 ES22，所以有…………….1分

2S2 ETEXnEX2S2En 2ES222 ．…………….2分 nn这表明TX

2S2n是2的无偏估计量．…………….1分

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