导数及定积分知识点总结及练习

导数及定积分知识点总结及练

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导数的应用及定积分

（一）导数及其应用

f(x0＋Δx)－f(x0)Δy

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx＝lim .我们称它为函数Δx

Δx→0

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)Δy

y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝limΔx＝lim。 Δx

Δx→0

Δx→0

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率 ，即k＝f ′(x0)＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

. Δx

3．函数的导数

对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f ′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

. Δx

4．函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x＝x0处的函数值，即f ′(x0)＝f ′(x)|x＝x0。

5．常见函数的导数

1

(xn)′＝__________.(x)′＝__________.(sinx)′＝__________.(cosx)′＝__________. (ax)′＝__________.(ex)′＝__________.(logax)′＝__________.(lnx)′＝__________. （1）设函数f(x)、g(x)是可导函数，则：

(f(x)±g(x))′＝________________；(f(x)·g(x))′＝_________________．

f(x)（2）设函数f(x)、g(x)是可导函数，且g(x)≠0，g(x)′＝___________________.



（3）复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

6．函数的单调性

设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，

(1)如果在区间(a，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________；

(2)如果在区间(a，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．

(2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________．

7．函数的极值

一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取得________，并把x0称为函数f(x)的一个_________；如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取得________，并把x0称为函数f(x)的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．

8．函数的最值

假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．

9．生活中的实际优化问题

（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．

（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点． （二）定积分

1．曲边梯形的面积

(1)曲边梯形：由直线x＝a、x＝b(a≠b)、y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．

(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：

①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________；

②近似代替：对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；

③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；

④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．

2．求变速直线运动的路程

如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

3．定积分的概念

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式Sn＝

f(ξi)Δx＝_____________(其中

i1nΔx为小区间长度)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常

数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的_________，记作_________．

baf(x)dx，即f(x)dx＝

ab这里，a与b分别叫做________与________，区间[a，b]叫做________，函数f(x)叫做________，x叫做________，f(x)dx叫做________．

4．定积分的几何意义

如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有___________，那么定积分

baf(x)dx表示由

_________________________，y＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．

5．定积分的性质 ①②③

babkf(x)dx＝__________________(k为常数)；

12[f(x)±fa(x)]dx＝________________；

cbaf(x)dx＝f(x)dx＋_______________(其中aa6．微积分

（1）微积分基本定理

如果F(x)是区间[a，b]上的________函数，并且F ′(x)＝________，那么___________．

（2）用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的________，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．

（3）被积函数的原函数有很多，即若F(x)是被积函数f(x)的一个________，那么F(x)＋C(C为常数)也是被积函数f(x)的________．但是在实际运算时，不论如何选择常数C(或者是忽略C)都没有关系，事实上，以F(x)＋C代替式中的F(x)有＝F(b)－F(a)．

（4）求定积分的方法主要有：①利用定积分的________；②利用定积分的___________；③利用_______________。

（

5

）

常

用

公

式

baf(x)dx＝

baf(x)dx＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]

①③⑤⑦

bab＋ncdx＝cx|bxn1|ba(c为常数)； ②xdx＝a(n≠－1)； n＋1

b1

aa1b

xdx＝lnx|a(b>a>0)； ④

sinxdx＝－cosx|；

abba

babcosxdxx＝sinx|ba； ⑥

baexdx＝ex|ba；

aaxb

adx＝lna|a(a>0且a≠1)．

练习题：

1

1．若直线y＝－x＋b为函数y＝x的图象的切线，求b及切点坐标．

2

2．曲线y＝3x2在点(3,6)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________________．

sinx

3．设y＝，－π1＋cosx4．求下列函数的导数．

123①y＝x2sinx ②y＝x2(x2－1) ③y＝x＋2＋3

xx

sinx

④y＝x·tanx ⑤y＝lnx

⑥y＝

xxx ⑦y＝sin21－2cos24

1－x

5．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值；

1

(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－4x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

a

6．设函数f(x)＝ax－x－2lnx.

(1)f ′(2)＝0，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

7．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．

8．设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0)． (1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在x∈[－1,1]内没有极值点，求a的取值范围；

(3)若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．

11

9．设f(x)＝－3x3＋2x2＋2ax.

2

(1)若f(x)在(3，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；

16

(2)当010．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间1

的关系为P＝24200－5x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大最大利润是多少(利润＝收入－成本)．

11．计算

12．求下列定积分： (1)

13．求直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积．

33(9－x2－x3)dx的值；

312x－1dx (2)94x2

x(1＋x)dx (3)

26cos2xdx （4）

22|x2－x|dx.

6题：(1)由已知得x>0，故函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． a2a4

∵f ′(x)＝a＋x2－x，∴f ′(2)＝a＋4－1＝0，∴a＝5. 4422

∴f ′(x)＝5＋5x2－x＝5x2(2x2－5x＋2)，

11

令f ′(x)>0，得02，令f ′(x)<0，得211

∴函数f(x)的单调递增区间为(0，2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(2，2)．

a2

(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0对x>0恒成立，因为f′(x)＝a＋x2－x＝ax2－2x＋a

，所以需x>0时ax2－2x＋a≥0恒成立， x2

2x

即a≥2对x>0恒成立．

x＋1

2x2

因为2＝1≤1，当且仅当x＝1时取等号，所以a≥1.

x＋1

x＋x7题：因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f ′(x)＝3x2＋6ax＋b.

f ′(－1)＝03－6a＋b＝0所以，即，

f(－1)＝0－1＋3a－b＋a2＝0a＝1a＝2解得，或 . b＝3b＝9

当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；

当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数； 当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，

所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9. a

8题：(1)∵f ′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x－3)(x＋a)，

aa

又a>0，∴当x<－a或x>3时，f ′(x)>0；当－aaa

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－a，3)． (2)由题设可知，方程f ′(x)＝3x2＋2ax－a2＝0在[－1，1]上没有实根，

2f ′(－1)<0，3－2a－a<0，

∴∴ f ′(1)<0，3＋2a－a2<0，

∵a>0，∴a>3.

a

(3)∵a∈[3,6]，∴3∈[1,2]，－a≤－3，

aa

又x∈[－2,2]，∴当x∈[－2，3)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(3，2]时，f(x)单调递增，故f(x)的最大值为f(2)或f(－2)．

而f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m， 又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立， ∴－8＋4a＋2a2＋m≤1，

即m≤9－4a－2a2，在a∈[3,6]上恒成立， ∵9－4a－2a2的最小值为－87， ∴m≤－87.

11

9题：(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－2)2＋4＋2a，

22221

当x∈[3，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′(3)＝9＋2a；令9＋2a>0，得a>－9，所以，12

当a>－9时，f(x)在(3，＋∞)上存在单调递增区间．

(2)令f′(x)＝0，得两根

1－1＋8a1＋1＋8ax1＝，x， 2＝22

所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增． 因为0f(4)

－

f(1)

＝

－

27

2

＋

6a<0

，

所

以

f(4)，

4016

所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－3＝－3，得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最10

大值为f(2)＝3

10题：每月生产x吨时的利润为

11

f(x)＝(24200－5x2)x－(50000＋200x)＝－5x3＋24000x－50000 (x≥0)． 3

由f ′(x)＝－5x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．

因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f ′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值1

为：f(200)＝－5×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 11题由定积分的几何意义得

339－x2dx＝

π×329π2＝2，

333x3dx＝0，由定积分性质得 (

9－x2－x3)dx＝

3339－x2dx－

339πx3dx＝2.

13题：(1)如图所示 y＝4x，x＝2，由解得 y＝x3.y＝8，x＝－2，或 y＝－8.

∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义得， S＝

204x(4x－x3)dx＝(2x2－)|20＝8－4＝4.

4