知识点归纳:
1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数,所有字母指数和叫单项式的次数。 如:2abc的 系数为2,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。
如:a2abx1,项有a、2ab、x、1,二次项为a、2ab,一次项为x,常数项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,-2,1,1,叫二次四项式。 3、整式:单项式和多项式统称整式。
注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升(降)幂排列: 如:x2xyxy2y1
按x的升幂排列:12yxy2xyx 按x的降幂排列:x2xyxy2y1 5、同底数幂的乘法法则:a•aamnmn3223322332232222(m,n都是正整数)
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如:(ab)•(ab)(ab) 6、幂的乘方法则:(a)amnmn235(m,n都是正整数)
5210幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:(3)3 幂的乘方法则可以逆用:即a62332mn(am)n(an)m
ab如:4(4)(4) 已知:23,326,求27、积的乘方法则:(ab)ab(n是正整数) 积的乘方,等于各因数乘方的积。
nnn3a10b的值;
如:(2xyz)=(2)•(x)•(y)•z32xyz 8、同底数幂的除法法则:aaamnmn32553525515105(a0,m,n都是正整数,且mn)
1 同底数幂相除,底数不变,指数相减。如:(ab)(ab)(ab)ab 9、零指数和负指数;
4333a01,即任何不等于零的数的零次方等于1。
1(a0,p是正整数),即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。 ap1313如:2()
28ap10、科学记数法:如:0.00000721=7.2110(第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方) 11、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单
项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 注意:
①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。 ②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。 如:2xyz•3xy
12、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加, 即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式)
注意:
①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。] 如:2x(2x3y)3y(xy)
13、多项式与多项式相乘的法则;
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
236、(3a2b)(a3b)2、(x5)(x6) 如:114、平方差公式:(ab)(ab)ab注意平方差公式展开只有两项
公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如:(a+b-1)(a-b+1)= 。计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)
22 2 15、完全平方公式:(ab)a2abb
公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意:
222a2b2(ab)22ab(ab)22ab (ab)2(ab)24ab (ab)2[(ab)]2(ab)2 (ab)[(ab)](ab)
2221.ab2aba2b22.ab2aba2b222223.ab2倍。a b2a2b2 完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,加上首尾乘积的
22y6bx4如:⑴、试说明不论x,y取何值,代数式x2的值总是正数。 4.aya15b24aba2b222(ab)(ab)16,ab4,3⑵、已知 求与的值.
16、三项式的完全平方公式:
(abc)2a2b2c22ab2ac2bc
17、单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
注意:首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 如:7abm49ab
18、多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即:(ambmcm)mammbmmcmmabc
242方法总结:①乘法与除法互为逆运算。 ②被除式=除式×商式+余式
例如:已知一个多项式除以多项式a24a3所得的商式是2a1,余式是2a8,求这个多项式。
怎样熟练运用公式:
(一)、明确公式的结构特征
3 这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x+2y-3z)2,若视x+2y为公式中的a,3z为b,则就可用(a-b)2=a2-2ab+b2来解了。
(三)、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化 如(3x+5y)(5y-3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化 如(-2m-7n)(2m-7n)变为-(2m+7n)(2m-7n)后就可用平方差公式求解了(思考:不变或不这样变,可以吗?)
3、数字变化 如98×102,992,912等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2,(90+1)2
后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化 如(4m+n)(2m-n)变为2(2m+n)(2m-n)后即可用平方差公
2444式进行计算了.
5、项数变化 如(x+3y+2z)(x-3y+6z)变为(x+3y+4z-2z)(x-3y+4z+2z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a2+1)2·(a2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a2+1)(a2-1)]2=(a4-1)2=a8-2a4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-
122)(1-
132)(1-
142)…(1-
192)(1-
1102),若分别算出各因式的
值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆
用平方差公式,则可巧解本题.
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