集合中的新定义题完美版

培优专题1新定义集合与抽象集合归类

所谓“新定义集合”，就是在现有的运算法则和运算规律的基础上，定义一种新的运算。“抽象集合”只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力。由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现，甚至将大学集合论中的有关概念移植到考题中，例如2008年福建：数域的判断，2006年四川：融洽集判断。下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性。

【题型1】新运算问题

【例1】定义集合A与B的运算：AB{x|xA或xB,xAB}，已知集合

A1,2,3,4,B3,4,5,6,7,则(AB)B( )

A.1,2,3,4,5,6,7

B.1,2,3,4

C.1,2

D.3,4,5,6,7

【例2】设M,P是两个非空集合，定义M与P的差集为MPx|xM,xP，则M(MP)等于（ ）

A.P B.MP C.MP D.M

【题型2】元素或集合的个数问题

【例3】设P3,4,5,Q4,5,6,7，定义P※Q(a,b)|aP,bQ，则P※Q中元素的个数为( )

A.3 B.4 C.7 D.12

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【例4】设M,P是两个非空集合，定义M与P的差集为MPx|xM,xP。已知

A1,3,5,7,B2,3,5，则集合AB的子集个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【题型3】元素的和问题

【例5】定义集合A,B的一种运算：ABx|xx1x2,x1A,x2B，若A1,2,3,B1,2，则AB中的所有元素之和为( )

A.9 B.14 C.18 D.21

【例6】对集合A1,2,3,,2001及每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按

照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果。例如，集合1,2,4,7,10的“交替和”为1074216，集合7,10的“交替和”为1073,5的“交替和”为5，等等，试求A的所有子集的“交替和”的总和。

【题型4】集合的分拆问题

【例7】若集合A1,A2满足A1A2A，则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合Aa1,a2,a3的不同分拆种数是 （ ）

A.27 B.26 C.9 D.8

【题型5】集合长度问题

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31M{x|mxm},N{x|nxn}43【例8】设数集，且M,N都是集合{x|0x1}的子集，如果

把ba叫做集合x|axb的“长度”，那么集MN的长度的最小值是 。

【题型6】理想配集问题

【例9】设I1,2,3,4,A与B是I的子集，若AB1,3，则称(A,B)为一个“理想配集”。那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”）( )

A.4 B.8 C.9 D.16

1.(2010福建)对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：

其中为凸集的是

2.（2013福建）设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足:①

T{f(x)|xS}；②对任意x1,x2S，当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),那么称这两个集合“保序同构”。

以下集合对不是“保序同构”的是( )

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A.AN,BN B.A{x|1x3},B{x|x8或0x10}

C.A{x|0x1},BR D.AZ,BQ

3.（2013广东）设整数n4,集合X1,2,3,xyz,yzx,zxy恰有一个成立},n，令集合S{(x,y,z)|x,y,zX且三条件

,若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是( )

A.(y,z,w)S,(x,y,w)S B.(y,z,w)S,(x,y,w)S

C.(y,z,w)S,(x,y,w)S D.(y,z,w)S,(x,y,w)S

4.设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量aM,都有aM，则称M为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是

A.{(x,y)|yx2}

xy0B.(x,y)|xy0

C.{(x,y)|x2y22y0} D.{(x,y)|3x22y2120}

5.非空集合G关于运算满足：⑴对任意a,bG，都有abG；⑵存在cG，使得对一切aG，都有accaa，则称G关于运算为“融洽集”。

现给出下列集合和运算：①G{非负整数}，为整数的加法；②G{偶数}，为整数的乘法；

③G{平面向量}，为平面向量的加法；④G{二次三项式}，为多项式的加法；⑤G{虚数}，为复数的乘法。其中G关于运算为“融洽集”的是

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6.设全集I1,2,3,,9，A,B是I的子集，若AB1,2,3，就称集合对(A,B)为好集，那么所有

的好集个数为（ ）

A.720 B.36 C.64 D.729

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