椭圆的定义及标准方程的教学设计

《椭圆及其标准方程》的教学设计

一、教材分析

1、椭圆定义的分析

椭圆是常见的圆锥曲线，通过日常生活的体验，学生对椭圆已有一定的认识。为了使学生掌握椭圆的本质特征，得到椭圆的定义，教材介绍了一种画椭圆的方法，通过画图过程揭示椭圆上的点所要满足的条件。

在讲解椭圆定义时，对“常数”加上了一个条件，即常数要大于|F1F2|。这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为一条线段或无轨迹。对于这两种情况，教学中可以及时加以说明，学生是不难理解的；而且可以加深对“常数要大于|F1F2|”的理解。另一方面，还可以通过在ΔMF1F2中，两边之和大于第三边来理解。当然这样做的弊端是忽略特殊情况，即点M位于椭圆长轴端点的情形。

在椭圆定义的教学中，一定要充分展示椭圆的产生过程，引导学生分析椭圆上的点所满足的几何条件，从而为坐标系的选择和椭圆方程的建立奠定基础。

2、椭圆标准方程建立的分析

首先要建立坐标系。曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同。为了使方程简单，坐标系的选择要恰当。怎样选择恰当的坐标系，要跟剧具体情况来确定。一般情况下，应注意使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，注意到图形的对称性，不难想到使x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点与线段F1F2的中点重合，这样，两个定点的坐标比较简单，便于推导方程。

在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0），椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0），当然a>c，这是为了使焦点及长轴的两个端点的坐标不出现分式，以便导出的椭圆方程形式简单。

带根式的方程的化简是学生感到困难的，是教学难点，特别是由

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点M适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，方程中字母超过3个，且次数高、项数多，初中代数中没有做过这样的题目。我们教学时，要注意说明这类方程化简的方法，一般来说：

（1）方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一边，把其他的各项移到另一边；

（2）方程中有两个根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式。

2；以方程○2上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程○

圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程。”目的是进一步加深对“曲线与方程”关系的认识。

考题：“如果焦点F1、F2在y轴上，且点F1、F2的坐标分别为(0,-c)，(0,c), a,b的意义同上，那么椭圆的标准方程时什么？”

x2y2稍加思索，学生不难发现，应该把方程221(ab0)中x、

y2ax2by顺序对换，得到椭圆的另一个标准方程221(ab0)。这样一

abx2y2在求出椭圆的标准方程221(ab0)后教科书提出一个思

abx2y22（指221(ab0)）求得椭圆的方程○以后，教科书指出“从

ab2是椭的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系可知，方程○

来，椭圆的标准方程有两个。

3、对椭圆标准方程认识的分析

在给出椭圆的两个标准方程以后，应向学生指出一下几点： （1） 在椭圆的两种标准方程中，都有：a>b>0。

（2） 椭圆的焦点总在长轴上，如果焦点在x轴上，那么焦点坐标为 (-c,0) ,(c,0);如果焦点在y轴上，那么焦点坐标为(0,-c),(0,c)。

（3） a,b,c始终满足关系式c2a2b2

二、学情分析

在学习本节内容以前，通过对必修3《直线与圆》以及选修2-1《2.1曲线与方程》的学习，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，对曲线的方程的概念有

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一定的了解，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。 同时，经过一年零两个月的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了一定的提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时予以指导。

三、教学目标分析

1、知识与技能目标：准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及

其推导

2、过程与方法目标：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆

的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力

3、情感态度和价值观目标：

（1）充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生观察、思考、探究、合作、归纳、促进合作意识

（2）通过对椭圆定义的严密描述，培养学生求实严谨的科学作风 （3）通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的品质并体会数学的简洁美、对称美

四、教学重点、难点分析

1、重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想 2、难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用

五、教法与学法分析

1、教法设计：探究式教学方法

教师为主导：设置情境、问题诱导

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学生为主体：直观观察→动手操作→探究讨论→归纳抽象→总结规律

2、学法设计：本节课给学生提供以下四种机会：

（1）提供观察、思考的机会； （2）提供操作、尝试、合作的机会； （3）提供表达、交流的机会； （4）提供成功的机会。

3、教具准备：多媒体课件、细绳、白纸、笔

六、教学过程设计分析

(一)引入新课

“我们知道平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，

那么平面内到两个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢？请同学们拿出画图工具以小组为单位画图，看看能得到什么样的图形？”

(二) 讲授新课 1、归纳总结椭圆的定义

椭圆：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2ａ（大于|F1F2|）的点

的集合叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距2c。

注：为什么2a必须大于|F1F2|？

① 当2a＞|F1F2|时，集合是椭圆。 ② 当2a=|F1F2|时，集合是线段F1F2。 ③ 当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在。.

2、推导椭圆的方程

（1）、复习用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出满

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足某种条件的动点的集合、列出方程、化简方程、证明等价性。

（2）、如何建立坐标系使求出的方程形式最简单？（学生讨论）复习

建立适当直角坐标系的一般原则：以已知直线为坐标轴，兼顾图形的对称性。这里我们以经过椭圆两焦点F1,F2所在的直线为x轴，以线段建立平面直角坐标系xoy。Mx,y为椭圆上F1F2的垂直平分线为y轴，

任意一点，动点M与两个焦点F1、F2的距离之和为2aa0，焦距为

2cc0，则F1c,0F2c,0。

根据椭圆的定义，椭圆就是集合: AMMF1MF22a，将上述集合坐标化得：xcy2xcy22a，化简上述方程：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号。

方法：移项后两次平方去掉根号

22xcxc2y2xc2y22a.22y22axcxcy2,y2(xc)2y2,

(xc)2y24a24a2a2xc222y2a2cx,22224222

ax2acxacaya2acxcx,2a x2y222222221引导学生分析ac的几何意义，令bac.2aacc2x2a2y2a2a2c2x2y2得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为221ab0

ab（3）、对于焦点在y轴上椭圆的标准方程的处理

为避免重复劳动，进行繁琐的化简，我们按以下方法进行处理：

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方法：先让学生猜想方程的形式，一般来说会有部分学生能说出正确答案，学生猜想后我再给出正确答案即：只需把焦点在x轴上的标准方程中的x、y的位置对换，得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程为

y2x221ab0.具体过程让学生在课后自己推导（作业）。 2ab(三) 、例题分析

x2y21上一点P到焦点F1的距离为8，例题1、如果椭圆那么点P到10036另一个焦点F2的距离是多少？

解：因为a10 所以PF1PF22a20

即8+pF2=20，所以pF2=12即点P到另一个焦点F2的距离为12 例题2、已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0),(2,0)，并且经过点

53(,)，求其标准方程. 22解法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

x2y2+2=1(ab0) 由椭圆的定义知 2ab53532a(2)2()2(2)2()2210 所以a10

2222又因为c2，所以b2a2c21046.

x2y2故所求椭圆的标准方程为1.

106解法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

x2y2+2=1(ab0) 2ab５2３2－ ２２根据题意有221 ba22ab46页

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x2y2推出a＝10，b＝6， 故所求椭圆的标准方程为1.

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2

其中, 例1是教材第42页练习题的第一题变式，例2是教材第40页的例1。通过这两个例题，我们要强调对定义在解题中的应用，在用待定系数法求椭圆的标准方程时需注意两点：首先要根据题意判断焦点位置，再设出相应的方程；其次注意充分运用a,b,c三者之间的关系

a2b2c2。

(四)、课堂练习

1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。 （1）a＝4，b＝3，焦点在x轴上 （2）a=4,c=15，焦点在y轴上 2、求下列椭圆的焦点坐标.

x2y2（1）1（2）x2+2y2=4

312(五) 、课堂小结

1、椭圆的定义

2、椭圆的两个标准方程（注意方程形式与焦点的位置的关系） 标准方程 x2y2+2=1(ab0) 2aby2x2+2=1(ab0) 2aby 图形 F1O y M x F2F2 x M O F1 a,b,c关系 a2b2c2 a2b2c2 7页

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焦点坐标 焦点位置 F1(c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,c) 在x轴上 在y轴上 (六)、 布置作业

1、推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程。 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程。

(1) 焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P(3,26)； (2) 焦点坐标为(0,4),(0,4),a5； (3) ab10,c25。

（七）、板书设计：

椭圆的标准方程 1、定义 2、椭圆的标准方程： ①焦点在x轴上：F1(c,0),F2(c,0) 例题讲解： 例1、 例2、 演算草稿区 yx21(ab0) 2ab22②焦点在y轴上：F1(0,c),F2(0,c) y2x221(ab0) 2ab

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