江西省南昌二中2015届高三上学期第四次段考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共50分）
2a
1．（5分）设集合P={a，log2a}，Q={2，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（） A． {0，1} B． {0，1，2} C． {0，2} D． {0，1，2，3} 2．（5分）下列命题中是假命题的是（）
+
A． ∀a，b∈R，lg（a+b）≠lga+lgb B． ∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数 C． ∃α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβ D． ∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•
3．（5分）cos（ A．
4．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=
）的值为（） B．
C． ﹣
D． ﹣
是幂函数，且在（0，+∞）上递减
（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）
A． 减函数且f（x）＞0 B． 减函数且f（x）＜0 C． 增函数且f（x）＞0 D． 增函数且f（x）＜0
n
5．（5分）已知数列{an}的前n项的和Sn=a﹣1（a是不为0的实数），那么{an}（） A． 一定是等差数列 B． 一定是等比数列 C． 或者是等差数列，或者是等比数列 D． 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
6．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为（）
A． 8
7．（5分）将函数变），再向左平移
B． 10 C． 12 D． 14
的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
个单位，所得函数的图象的一条对称轴为（）
- 1 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com A．
B．
C．
D． x=π
n
8．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，anan+1=3（n∈N+），则S2014=（） A． 2×3
9．（5分）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则的取值范围是（） A． [1，2]
•
1007
﹣2 B． 2×3
1007
C． D．
B． [0，1] C． [0，2] D． [﹣5，2]
10．（5分）已知函数f（x）=lnx+b设两曲线y=f（x），y=g（x）
有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（） A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共25分） 11．（5分）△A′B′C′是正三角形ABC的斜二测画法的水平放置直观图，若△A′B′C′的面积为，那么△ABC的面积为． 12．（5分）若{an}是正项递增等比数列，Tn表示其前n项之积，且T10=T20，则当Tn取最小值时，n的值为．
13．（5分）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则
14．（5分）已知向量与向量的夹角为120°，若在上的投影为．
15．（5分）下列四个命题： ①函数y=f（a+x）（x∈R）与y=f（a﹣x）（x∈R）的图象关于直线x=a对称；
2
②函数f（x）=lg（ax﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为[0，1]； ③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件；
④数列{an}的通项公式为an=n+λn+2（n∈N+），若{an}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（﹣3，+∞）．
- 2 -
2
的最小值是．
且，则
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其中真命题的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16．（12分）已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg义域为集合B．
（1）若a=时，求集合A∩（∁UB）；
（2）命题P：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 17．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．
的定
（1）求实数a的值；
（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．
18．（12分）已知函数f（x）=x+x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N）均在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式an； （2）令cn=
19．（12分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinA，cosB），=（1，1）．
（I）若∥，求角B的大小： （Ⅱ）若•=4，边长c=2，角c=
求△ABC的面积．
+
证明：2n＜c1+c2+„+cn＜2n+．
2
*
- 3 -
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20．（13分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且a2=2，S5=15，数列{bn}满足：b1=，bn+1=（n∈N），记数列{bn}的前n项和为Tn．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn； （2）求数列{bn}的通项公式bn及前n项和公式Tn； （3）记集合M={n|
≥λ，n∈N}，若M的子集个数为16，求实数λ的取值
+
+
bn
范围． 21．（14分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1）． （1）求f（x）的单调区间； （2）已知数列{an}的通项公式为an=1+数的底数）； （3）若k∈Z，且k＜
对任意x＞1恒成立，求k的最大值． +
（n∈N+），求证：a2a3a4•„•an＜
（e为自然对
江西省南昌二中2015届高三上学期第四次段考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分）
2a
1．（5分）设集合P={a，log2a}，Q={2，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（） A． {0，1} B． {0，1，2} C． {0，2} D． {0，1，2，3}
考点： 对数的运算性质；交集及其运算． 专题： 函数的性质及应用；集合．
a2
分析： 因为2＞0，所以P∩Q={0}，只能a=b=0或者log2a=b=0，化简这两种情况，得到a，b的值，然后计算集合的并集．
a2
解答： 解：因为P∩Q={0}，并且2＞0，所以只能a=b=0或者log2a=b=0， 解得a=b=0，此时log2a无意义；或者a=1，b=0； 所以P={1，0}，Q={2，0}， 所以P∪Q={0，1，2}； 故选B．
点评： 本题考查了对数的运算以及集合的运算，关键时由题意得到a，b的值，考查了分析问题、解决问题的能力，属于基础题． 2．（5分）下列命题中是假命题的是（）
+
A． ∀a，b∈R，lg（a+b）≠lga+lgb
- 4 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com B． ∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数 C． ∃α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβ D． ∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•
是幂函数，且在（0，+∞）上递减
考点： 命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题． 专题： 简易逻辑．
分析： 利用反例判断A的正误；通过特殊值判断B的正误；特殊值判断C的正误；利用幂函数的定义判断D的正误；
+
解答： 解：∀a，b∈R，lg（a+b）≠lga+lgb，如果a=b=2，两个数值相等，所以A不正确． ∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，当φ=
时，函数是偶函数，所以B正确．
，β=
，等式成立，所以C
∃α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβ，例如α=正确；
∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•
﹣1
是幂函数，且在（0，+∞）上递减，m=2时函数是幂
函数，f（x）=x．满足题意，正确． 故选：A．
点评： 本题考查命题的真假的判断与应用，反例法与特殊值法是常用方法，考查基本知识的应用．
3．（5分）cos（ A．
）的值为（） B．
C． ﹣
D． ﹣
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值．
分析： 原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答： 解：cos（
）=cos（670+
）=cos
=cos（π+
）=﹣cos
=﹣，
故选：C．
点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
4．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=
（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（） A． 减函数且f（x）＞0 B． D． 增函数且f（x）＜0
考点： 奇偶性与单调性的综合．
减函数且f（x）＜0 C． 增函数且f（x）＞0
- 5 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论． 解答： 解；因为定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（﹣x）， 所以f（x+1）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x）， 所以函数的周期是2，
则f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同， 设x∈（﹣1，﹣），则x+1∈（0，）， 又当x∈（0，]时，f（x）=所以f（x+1）=
（﹣x），
（﹣x），
（1﹣x），
由f（x+1）=f（﹣x）得，f（﹣x）=所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣
（﹣x），
由x∈（﹣1，﹣）得，f（x）=﹣（﹣1）=0，
（﹣x）在（﹣1，﹣）上是减函数，且f（x）＜f
所以则f（x）在区间（1，）内是减函数且f（x）＜0，
故选：B．
点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．
n
5．（5分）已知数列{an}的前n项的和Sn=a﹣1（a是不为0的实数），那么{an}（） A． 一定是等差数列 B． 一定是等比数列 C． 或者是等差数列，或者是等比数列 D． 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
考点： 等比关系的确定． 专题： 计算题；分类讨论．
分析： 由题意可知，当a=1时，Sn=0，判断数列是否是等差数列；当a≠1时，利用
，判断数列{an}是等差数列还是等比数列．
解答： 解：①当a=1时，Sn=0，
- 6 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 且a1=a﹣1=0，
nn﹣1
an=Sn﹣Sn﹣1=（a﹣1）﹣（a﹣1）=0，（n＞1）
n﹣1n﹣2
an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=（a﹣1）﹣（a﹣1）=0， ∴an﹣an﹣1=0，
∴数列{an}是等差数列． ②当a≠1时， a1=a﹣1，
nn﹣1nn﹣1
an=Sn﹣Sn﹣1=（a﹣1）﹣（a﹣1）=a﹣a，（n＞1）
n﹣1n﹣2n﹣1n﹣2
an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=（a﹣1）﹣（a﹣1）=a﹣a，（n＞2）
，（n＞2）
∴数列{an}是等比数列．
综上所述，数列{an}或是等差数列或是等比数列． 故选C．
点评： 本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义．
6．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为（）
A． 8 B． 10 C． 12 D． 14
考点： 简单线性规划． 专题： 数形结合．
分析： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可． 解答： 解：作图
易知可行域为一个三角形，
当直线z=x+3y过点A（3，3）时，z最大是12， 故选C．
- 7 -
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点评： 本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
7．（5分）将函数变），再向左平移 A．
的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
个单位，所得函数的图象的一条对称轴为（） B．
C．
D． x=π
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题． 分析： 通过函数
的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函数
的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可． 解答： 解：函数的解析式为：
=
的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，再向左平移
个单位得到函数为：
．
，所得函数的图象的一条对称轴为：
故选C．
点评： 本题考查三角函数的图象的变换，图象的平移，考查计算能力，是基础题．
n
8．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，anan+1=3（n∈N+），则S2014=（） A． 2×3
1007
﹣2 B． 2×3
1007
C． D．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由数列递推式得到数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的求和公式得答案． 解答： 解：由anan+1=3，得
n
（n≥2），
∴，
则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列， 又
．
∴=2×3
1007
﹣2．
- 8 -
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故选：A．
点评： 本题考查了等比关系的确定，考查了数列的分组求和与等比数列的前n项和，是中档题．
9．（5分）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则的取值范围是（） A． [1，2] B． [0，1] C． [0，2] D． [﹣5，2]
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
分析： 由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=
+
（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得
•
=﹣7λ+2．
•
=2×1×cos120°=﹣1．代入利用数量积运算性质即可得出
再利用一次函数的单调性即可得出．
解答： 解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴∴=
•
=[
+
﹣
+]•
=
+
（0≤λ≤1）．
=2×1×cos120°=﹣1．
=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ =﹣7λ+2． ∵0≤λ≤1，
∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]． ∴
•
的取值范围是[﹣5，2]．
故选：D．
点评： 本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）=
lnx+b设两曲线y=f（x），y=g（x）
有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（） A．
B． C． D．
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考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．
分析： 分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点， 设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数
即可得到b的最大值．
解答： 解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a， 函数g（x）的导数为
，
，运用导数求出单调区间和极值、最值，
由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），
则，
由于x0＞0，a＞0 则x0=a，因此构造函数
由h'（t）=2t（1﹣3lnt）， 当递减， 则
即为实数b的最大值．
时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当
时，h'（t）＜0即h（t）单调
，
故选D．
点评： 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查分离参数法和构造函数，运用导数求单调区间和极值、最值，同时考查运算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题5分，共25分） 11．（5分）△A′B′C′是正三角形ABC的斜二测画法的水平放置直观图，若△A′B′C′的面积为，那么△ABC的面积为2．
考点： 斜二测法画直观图．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可． 解答： 解：因为
=
，且△A′B′C′的面积为
，
- 10 -
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那么△ABC的面积为2 故答案为：2．
点评： 本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查． 12．（5分）若{an}是正项递增等比数列，Tn表示其前n项之积，且T10=T20，则当Tn取最小值时，n的值为15．
考点： 等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 欲求n的值，根据T10=T20，得出a11a12„a20=1，根据等比数列的性质有a11a20=a12a19=1；由等比数列是正项递增的，容易得到a15＜a16．分析得出a15＜1，a16＞1，从而得到T15最小． 解答： 解：根据T10=T20，得出a11a12„a20=1， a11a20=a12a19=„=a15a16=1；a15＜a16， 所以a15＜1，a16＞1，T15最小． 故答案为：15．
点评： 此题考查等比数列的性质，需要灵活应用．
13．（5分）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则
考点： 基本不等式． 分析： 由x﹣2y+3z=0可推出解答： 解：∵x﹣2y+3z=0， ∴
，
，代入
中，消去y，再利用均值不等式求解即可．
的最小值是3．
∴=，当且仅当x=3z时取“=”．
故答案为3．
点评： 本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是2015届高考考查的重点内容．
14．（5分）已知向量与向量的夹角为120°，若在上的投影为
．
且
，则
考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 平面向量及应用．
- 11 -
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分析： 因为向量与向量的夹角为120°，所以
．
在上的投影为
，问题转化为求
解答： 解：因为向量所以
在
上的投影为
，
与向量
的夹角为120°，
，
问题转化为求因为故所以
在
，
， 上的投影为
．
．
故答案为：
点评： 本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用． 15．（5分）下列四个命题： ①函数y=f（a+x）（x∈R）与y=f（a﹣x）（x∈R）的图象关于直线x=a对称；
2
②函数f（x）=lg（ax﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为[0，1]； ③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件；
④数列{an}的通项公式为an=n+λn+2（n∈N+），若{an}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（﹣3，+∞）．
其中真命题的序号是②④．
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．
分析： 根据函数图象的对称变换法则，可判断①；根据对数函数的图象和性质结合二次函数的图象和性质，可判断②；根据充要条件的定义和正弦函数的图象和性质可判断③；根据递增数列的定义，可判断④
解答： 解：对于①，函数y=f（a+x）（x∈R）的图象关于直线x=a对称变换后得到y=f[a+（2a﹣x）]=f（3a﹣x）（x∈R）的图象，故①错误；
22
对于②，若函数f（x）=lg（ax﹣2x+a）的值域为R，令y=ax﹣2x+a的值域为A，则（0，+∞）⊆A，当a=0时，满足条件，
2
当a≠0时，须a＞0且△=4﹣4a≥0，解得0＜a≤1； 综上可得实数a的取值范围为[0，1]；故②正确
③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的必要不充分条件；
2
- 12 -
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④数列{an}的通项公式为an=n+λn+2（n∈N+），则an+1=（n+1）+λ（n+1）+2， 若{an}是单调递增数列，则an+1﹣an=2n+1+λ＞0恒成立， 即λ＞﹣（1+2n）≥﹣3，
故实数λ的取值范围为（﹣3，+∞）．故④正确； 故真命题的序号是②④， 故答案为：②④
点评： 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数图象的对称变换，对数函数，二次函数，正弦函数的图象和性质，数列的单调性等知识点，难度中档．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16．（12分）已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg义域为集合B．
（1）若a=时，求集合A∩（∁UB）；
（2）命题P：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算；必要条件． 专题： 常规题型．
分析： （1）将a=带入原函数式，再求其定义域，然后进行交集、补集的运算便可． （2）根据必要条件的定义，及原函数的定义域，便可建立对于a的限定的式子．
的定
2
2
解答： 解：（1）a=时原函数变成y=lg，
解＞0得B=（，），所以∁UB=（﹣∞，]∪[，+∞），
所以A∩（∁UB）=（2，3）∩（（﹣∞，]∪[，+∞））=[，3）
（2）由题意得A=（2，3），解得B=（a+2，a）∪（a，a+2），根据必要条件
22
的概念，由题意知A⊆B，所以或，
所以解得a的取值范围是：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．
点评： 本题需掌握的几个知识点是：1．定义域的求法；2．交、并、补的运算；3．必要条件的概念；4．子集的概念．
- 13 -
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17．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．
（1）求实数a的值；
（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．
考点： 由三视图求面积、体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： （1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用几何体A﹣BCED的体积为16，求实数a的值； （2）过B作AD的垂线BH，垂足为H，得
，求出圆锥底面周长为
，
两个圆锥的母线长分别为和2，即可求该旋转体的表面积． 解答： 解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a， 体积V=
解得a=2；
（2）在RT△ABD中，
=16，
，BD=2，AD=6，
，
，
和2，
过B作AD的垂线BH，垂足为H，得
该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为所以圆锥底面周长为故该旋转体的表面积为
，两个圆锥的母线长分别为
．
点评： 本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）=x+x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N）均在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式an； （2）令cn=
+
证明：2n＜c1+c2+„+cn＜2n+．
2
*
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考点： 数列与函数的综合；等差数列的通项公式． 专题： 计算题；证明题．
分析： （1）点（n，Sn）均在函数y=f（x）的图象上，则sn=n+n，可得an=Sn﹣Sn﹣1=n+1，并验证a1即可； （2）证明：由cn=
+
＞2，得c1+c2+„+cn＞2n；由cn=
﹣
）=2n+﹣
+
=2+
﹣
，得
2
c1+c2+„+cn=2n+（﹣+﹣+„+＜2n+；即证．
解答： 解：（1）∵点（n，Sn）均在函数y=f（x）的图象上， ∴
，
*
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n+1，a1也适合，所以an=n+1（n∈N）． （2）证明：∵
，∴c1+c2+„+cn＞2n；
又cn=+=2+﹣，∴c1+c2+„+cn=2n+（﹣+﹣+„+﹣）=2n+﹣
＜2n+；
∴2n＜c1+c2+„+cn＜2n+．
点评： 本题考查了数列与函数的综合应用问题，解题时运用了数列的前n项和求通项公式，应用基本不等式，拆项法等证明不等式成立，属于中档题．
19．（12分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinA，cosB），=（1，1）．
（I）若∥，求角B的大小： （Ⅱ）若•=4，边长c=2，角c=
求△ABC的面积．
考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题．
分析： （I）根据平面向量平行时满足的条件，得到一个关系式，利用正弦定理化简即可求出tanB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）根据平面向量的数量积的运算法则化简•=4，得到a+b的值，然后由c及cosC的值，利用余弦定理表示出c，变形后把a+b的值代入即可求出ab的值，然后由ab及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积． 解答： 解：（I）∵∥，∴acosB=bsinA，（2分）
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2
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 根据正弦定理得：2RsinAcosB=2RsinBsinA（4分） ∴cosB=sinB，即tanB=1，又B∈（0，π）， ∴B=
；（8分）
（Ⅱ）由•=4得：a+b=4，（8分） 由余弦定理可知：4=a+b﹣2abcos于是ab=4，（12分） ∴S△ABC=absinC=
．（13分）
2
2
=a+b﹣ab=（a+b）﹣3ab，
222
点评： 此题考查学生掌握平面向量数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理化简求值，是一道中档题．
20．（13分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且a2=2，S5=15，数列{bn}满足：b1=，bn+1=（n∈N），记数列{bn}的前n项和为Tn．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn； （2）求数列{bn}的通项公式bn及前n项和公式Tn； （3）记集合M={n|
≥λ，n∈N}，若M的子集个数为16，求实数λ的取值
+
+
bn
范围．
考点： 等差数列与等比数列的综合． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出； （2）先得到出前n项和公式Tn； （3）根据函数的
的单调性，得到不等式
，n∈N继而求实数λ的
+
，再利用累乘法，得到数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求
取值范围 解答： 解：（1）设数列{an}的公差为d， 由题意得∴an=n， ∴
．
，解得
，
（2）由题意得，
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累乘得由题意得
①
．
②
②﹣①得：
∴
（3）由上面可得，令，
则f（1）=1，，，，．
下面研究数列的单调性，
∵，
∴n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减． ∵集合M的子集个数为16， ∴M中的元素个数为4， ∴不等式
，n∈N解的个数为4，
+
∴
点评： 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、累乘法错位相减法求和，以及参数的取值范围，属于中档题． 21．（14分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1）． （1）求f（x）的单调区间； （2）已知数列{an}的通项公式为an=1+数的底数）； （3）若k∈Z，且k＜
对任意x＞1恒成立，求k的最大值． +
（n∈N+），求证：a2a3a4•„•an＜
（e为自然对
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考点： 数列与函数的综合．
专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列． 分析： （1）根据题意先求函数的导函数f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求出满足条件的范围，即可求出函数的单调区间；
（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即ln（x+1）＜x．由令k=2，3，„，n，累加后，利用放缩法可得答案； （3）令
，则
．令h
，
（x）=x﹣lnx﹣2，则，利用导数法，分析函数的图象和性质，可得答
案．
解答： 解：（1）∵f（x）=ln（x+1）﹣x， ∴
．
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0． ∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），单调递减区间是（0，+∞）．
证明：（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即ln（x+1）＜x． ∵∴
，
．
令k=2，3，„，n，这n﹣1个式子相加得：
=
=
．
即
，
∴
解：（3）令
．
，则．
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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 令h（x）=x﹣lnx﹣2，则
，
故h（x）在（1，+∞）上单调递增，
而h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0， ∴h（x）存在唯一零点x0∈（3，4），即x0﹣lnx0﹣2=0． 当x∈（1，x0）时，h（x）＜h（x0）=0，即g'（x）＜0； 当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞h（x0）=0，即g'（x）＞0． ∴g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 故
．
由题意有k＜[g（x）]min=x0，又k∈Z，x0∈（3，4），所以k的最大值是3．
点评： 本题考查的知识点是数列与函数的综合，不等式的证明，恒成立问题，利用导数求函数的最值，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．
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