试卷上不必抄题,但须写明题号,例如 Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等.
一、(1)已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35. (注)lg是以10为底的对数的符号.
(3)解不等式:2x2+5x<3. (4求cos165°的值.
(5)一直圆台上底的面积为25π平方厘米,下底的直径为20厘米,母线长为10厘米.求这直圆台的侧面积.
(6)有三条不在同一平面内的平行线a、b和c.在线a上取一固定线段AB,在线c、b上各任取一点C和D.求证:不论C和D取在c、b的什么位置上,四面体ABCD的体积总是不变的.
二、三个数成等差数列,前两个数的和的三倍等于第三个数的二倍;如果第二个数减去2(仍当作第二项),三个数就成等比数列.求原来的三个数.
四、A、B、C是直线L上三点,P是这直线外一点.已知AB=BC=a,
∠APB=90°,∠BPC=45°.试求:(1)∠PBA的正弦、余弦、正切;(2)线段PB的长;(3)P点到直线L的距离.
五、延长圆O的两弦AB、CD交于圆外一点E,过E点作DA的平行线交CB的延长线于点F,自F点作圆O的切线FG.求证FG=FE.
1959年试题答案
(3)解法一: 2x2+5x<3, 移项,得
2x2+5x-3<0, (2x-1)(x+3)<0.
因为两个数的积是负数,必须并且只须这两个数中一个是正数,一个是负数,所以从这个不等式可以得出下面两个不等式组:
解法二:
2x2+5x<3, 移项,得
2 x2+5x-3<0,
不等式两边都乘以-1,得 -2 x2-5x+3>0
△=(-5)2-4·(-2)·3>0,
(5)圆台侧面积S=πL(R+r),其中L为母线,r、R分别为上,下底的半径.上底面积=πr2=25π ∴r=5(厘米)
下底半径R=20/2(厘米)=10(厘米) 母线l=10(厘米) ∴ 这圆台侧面积 S=πL(R+r)
=π·10·(10+5) =150π(厘米2)
(6)△ABD当四面体ABCD的底(如图)作底上的高CO. ∵ a∥b
∴ 无论D在b上什么位置, △ABD的面积总不变. ∵ a∥b∴a,b决定一平面. ∵ c∥a,c∥b.
∴ c平行于a,b所决定的平面.
∴ 无论C点在c的什么位置,高CO的高度总不变.
因之,无论C,D在c,b上什么位置,其体积总不变
二、设成等差数列的三个数是x-y、x、x+y,依据题中条件,
化简(1)和(2),得:
将(3)代入(4),得: y2-5y+4=0, (y-1)(y-4)=0 故 y1=1,y2=4
三、设AB及BC两边之长为x及y,则有 x2+y2-2xycos60°=42
代入cos60°及sin60°的值,得到: x2+y2-xy=16 xy=4
化简,得到: x2+y2=20 (1) 2xy=8 (2)
(1)+(2),得: (x+y)2=28, (3) (1)-(2),得: (x-y)2=12 (4)
四、解法一:令∠PBA=θ
由△APB知 x=acosθ, (1)
代(1),(4)入(3),得
五、证明:∵EF∥DA,
∴∠FEB=∠BAD，而∠BAD=∠BCD, ∴∠FEB=∠BCD，又∠EFB=∠EFC ∴△EFB∽△CFE 因此,FE:FC=FB:FE, 即FE2=FB·FC.
∵FG是圆O的切线,FBC的圆O的割线, ∴FG2=FB·FC
∴FG2=FE2即FG=FE.
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