山东省日照一中2015届高三10月第一次阶段复习质量达标检测数学(文)试题含解析

阶段复习质量达标检测数学（文）试题（解析版）

【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，重点考查学生的运算能力，思维能力，运算能力，分析问题解决问题的能力、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合，函数方程、复数、、导数、圆锥曲线、立体几何、数列、、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

【题文】１.若集合Mxx20，Nx1x3，则MN（ ） A．{x|2x3} C．{x|x3}

B．{x|x1} D．{x|1x2}

【知识点】集合及其运算A1

【答案解析】A 集合M={x|x-2＞0}={x|x＞2}，N={x|log2（x-1）＜1} ={x|0＜x-1＜2}={x|1＜x＜3}，故 M∩N={x|2＜x＜3}，故选A．

【思路点拨】解对数不等式求出N，再由两个集合的交集的定义求出 M∩N．

i（i为虚数单位）的虚部是（ ） 2i11111 A． i B． C． i D． 5555【题文】2.复数【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】B

i(2i1)ii21==所以虚部为故选B 2i1(2i1)(2i1)555【思路点拨】先化简成最简形式，然后确定虚部。 【题文】3.已知log1blog1a0c1，则（ ）

22A．222 C．222

cbabac B．222 D．222

cababc

【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数B6 B7

【答案解析】A log1blog1a，则b>a>1,由0a>c,

22所以222，故选A.

【思路点拨】先利用指数函数对数函数性质确定大小，再根据指数函数的单调性求出结果。

bac1，则cos2()（ ） 544321 A． B． C． D． 5555【题文】4.已知sin2【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2 【答案解析】B ∵sin2α=故答案为B． 【思路点拨】根据cos2（α- 果． 【题文】5.函数yf(x)在区间(2,2)上的图象是连续不断的，且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实根x0，则f(1)f(1)的值（ ） A．大于0 B．小于0

C．等于0 D．与0的大小关系无法确定

【知识点】函数与方程B9

【答案解析】D 由于函数y=f（x）在区间（-2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（-2，2）上仅有一个实根x=0，可得图象：

22113，∴cos2（α-）=(cosα+sinα)2=（1+sin2α）=， 2254254）=(221cosα+ sinα)2=（1+sin2α），计算求得结222

因此f（-1）f（1）的值与0的大小关系不正确．故选：D．

【思路点拨】根据函数y=f（x）在区间（-2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（-2，2）上仅有一个实根x=0，画出图象即可判断出．

2lnx图象上的点，则xy的最小值为（ ） x7 A．3 B．2 C．ln2 D．3ln2

2【题文】6.设P(x,y)是函数y【知识点】导数的应用B12

2+lnx图象上的点， x221(x2)(x1)则x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．f′（x）=1-2+=， 2xxxx【答案解析】A ∵P（x，y）是函数y=令f′（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1， 此时函数f（x）单调递减．且f′（1）=0．∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=3． 故选：A． 【思路点拨】P（x，y）是函数y=2 +lnx图象上的点， x则x+y=x+2 +lnx=f（x），（x＞0）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 x【题文】7.在等比数列an中，a7是a8,a9的等差中项，公比q满足如下条件：OAB（O为原点）中，OA，OB(2,q)，A为锐角，则公比q等于（ ） （1,1） A．1 B．1 C．2 D．1或2 【知识点】等差数列等比数列D2 D3

【答案解析】C ∵等比数列{an}中，a7是a8，a9的等差中项， ∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=-2，

∵△OAB（O为原点）中，OA=（1，1），OB=（2，q），∠A为锐角，∴1×2+q＜0，

∴q=-2，故选：C． 【思路点拨】利用等比数列{an}中，a7是a8，a9的等差中项，求出q=1或q=-2，根据△OAB

（O为原点）中，OA =（1，1），OB=（2，q），∠A为锐角，确定q的值． x2y2【题文】8.能够把椭圆C1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f(x)称为

48椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是（ ） A．f(x)xx

32 B．f(x)1nx5x 5xx

C．f(x)sinxcosx D．f(x)ee

【知识点】单元综合B14 【答案解析】B ∵f（x）=x3+x2不是奇函数，∴f（x）=x3+x2的图象不关于原点对称， ∴f（x）=x3+x2不是椭圆的“亲和函数”； 5x5x是奇函数，∴f（x）=ln 的图象关于原点对称， 5x5x5x∴f（x）=ln 是椭圆的“亲和函数”； 5x∵f（x）=ln ∵f（x）=sinx+cosx不是奇函数，∴f（x）=sinx+cosx的图象不关于原点对称， ∴f（x）=sinx+cosx不是椭圆的“亲和函数”； ∵f（x）=ex+e-x不是奇函数，∴f（x）=ex+e-x的图象关于原点不对称， ∴f（x）=ex+e-x不是椭圆的“亲和函数”．故选：B． 【思路点拨】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可． 【题文】9若正数a,b满足，直线axby1与圆xy1相切，则ab的最大值是（ ）

A．4 B．22 C．2 D．2 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4

【答案解析】D ∵直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，

22∴圆心O（0，0）到直线ax+by-1=0的距离d=1a2b2=1，即a2+b2=1， 设a+b=m，则圆心O到直线a+b-m=0等于半径1时，即d′=m2=1， 解得m=±2，∴m的最大值为2，故选：D． 【思路点拨】由已知得a2+b2=1，设a+b=m，则圆心O到直线a+b-m=0等于半径1时，能求出m的最大值为 2． yx【题文】10设m1，在约束条件ymx下，目标函数zxmy的最大值小于2，则mxy1的取值范围是（ ） A．1,12 B．12, C．1,3 D．3,

【知识点】简单的线性规划问题E5

【答案解析】A ∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于（1m，）点，目标函数m1m1Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（1m，）点，取得最大值其关系如m1m1下图所示： 1m2即＜2又∵m＞1解得m∈（1，1+2）故答案为：（1，1+2）． m1【思路点拨】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（4 ，2 ）上，yx由此我们不难判断出满足约束条件 ymx的平面区域的形状，再根据目标函数Z=x+myxy1对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围． 【题文】11.关于方程log2xa(a0)的两个根x1,x2(x1x2)以下说法正确的是（ ） A．x1x23 C．x1x21

B．x1x22 D．1x1x22

【知识点】函数与方程B9 【答案解析】D 在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg（x+1） 的图象，如图：

由图可知：0＜x1＜1，1＜x2＜2， 所以1＜x1+x2＜2． 故选D．

【思路点拨】在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg（x+1）的图象，观察图象可得．

x2y2【题文】12.设F1,F2是椭圆E:221(ab0)的ab左，右焦点，P为直线x3a上一点，F2PF1是底角为230的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

A.

1234 B． C． D． 2345【知识点】椭圆及其几何性质H5 【答案解析】C 设x=3a交x轴于点M， 2F2PF1是底角为30°的等腰三角形 ∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M| ∵P为直线x=∴2（3a上一点， 23ac3-c）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故答案为C 2a4【思路点拨】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=3a 上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率． 2【题文】二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

【题文】13.函数yf(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为y1x2，则2f(1)f(1) . 【知识点】导数的应用B12

11x+1，则直线的斜率k=， 2215根据导数的几何意义得：f′（1）=,f(1)= 故答案为：3. 22【答案解析】3 ∵切线方程是y=【思路点拨】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（1）即可． 【题文】14. 在等差数列an中，若a6a7a812，则此数列的前13项之和为 .

【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2

【答案解析】52 由等差数列的性质可知，a6+a7+a8=3a7=12∴a7=4 ∴S13=13(a1a13)=13a7=52故答案为：52 213(a1a13)=13a7即可求解 2【思路点拨】由等差数列的性质可知，a6+a7+a8=3a7可求a7，然后代入等差数列的求和公式S13= 2x,xt【题文】15.设t0，函数f(x)logx,xt的值域为M，若4M，则t的取值范

12围是 .

【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数B6 B7 2x,xt１【答案解析】＜y≤2 ∵函数f(x)logx,xt可得0＜y＜2t，或y≤log1ｔ， 1１622∴值域为：{y|0＜y＜2t，或y≤log1ｔ} 2∵域为M，若4∉M，∴2t≤4，且log1ｔ＜4，可解得：2１＜y≤2 １62x　ｘ＜ｔ【思路点拨】根据函数f（x）= logx　　ｘｔ，可得0＜y＜2t，或y≤log1ｔ， 122由值域为M，4∉M，可得：2t≤4，且log1ｔ＜4，即可解出t 的范围． 2【题文】16.某学生对函数f(x)2xcosx的性质进行研究，得出如下的结论：

①函数f(x)在,0上单调递增，在0,上单调递减； ②点(2,0)是函数yf(x)图象的一个对称中心；

③函数yf(x)图象关于直线x对称；

④存在常数M0，使f(x)Mx对一切实数x均成立． 其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号)

【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性B3 B4

【答案解析】④ f（x）=2x•cosx为奇函数，则函数f（x）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错．由于f（0）=0，f（π）=-2π，所以②错．再由 f（0）=0，f（2π）=4π，所以③错． |f（x）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以④对．故答案为：④．

【思路点拨】由函数是奇函数可得函数f（x）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错；通过给变量取特殊值，举反例可得②③不正确；令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以④对．

【题文】三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分） 【题文】17.（本小题满分10分）在ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边， 且满足：bcosC(3ac)cosB. （1）求cosB；

（2）若BCBA4，b42，求边a，c的值. 【知识点】解三角形C8 【答案解析】（1）a2a61（2），或 ． 3c6c2（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB， ∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA． ∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB= 1． 3（2）由 BCBA=4，b=42，可得，a•c•cosB=4，即 ac=12．…①． 再由余弦定理可得 b2=32=a2+c2-2ac•cosB=a2+c2-2ac，即 a2+c2=40，…②． 3由①②求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2．综上可得，a2a6，或 ． c6c2【思路点拨】（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化

简整理求得cosB的值．

（2）由 BCBA=4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a2+c2=40，由此求得边a，c的值．

【题文】18.（本小题满分12分）如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,

2． O为底面中心, AO11⊥平面ABCD, ABAA（1）证明 A1BD// 平面CD1B1; （2）求三棱柱ABDA1B1D1的体积． 【知识点】空间中的平行关系G4 【答案解析】（1）略（2）1

（1） 设B1D1线段的中点O1，BD和B1D1是ABCDA1B1C1D1的对应棱，所以BD平行于B1D1，同理因为AO和AO所以AO平行A1O111是棱柱ABCDA1B1C1D1的对应线段，且AO平行OC，则A1O1平行OC且A1O1=OC则四边形A1O1OC为平行四边形则AO1平行O1C且AO1BD=O, O1CB1D1=O1,则面A1B1D1平行面CD1B1.

（2） 因为AO1面ABCD所以AO1是三棱柱ABDA1B1C1的高，在正方形ABCD中， AO=1，在直角三角形AO1A中，AO1=1.三棱柱ABDA1B1C1的体积

1VABDA1B1C1SABDAO1=(2)211,所以三棱柱ABDA1B1C1的体积为1

2【思路点拨】利用线面平行证面面平行，利用体积公式求体积。

【题文】19. （本小题满分12分）设数列an是等差数列，且首项a13,a8a310，Sn为数列前n项和．

（1）求数列an的通项公式及Sn；

4（2）若数列2的前n项和为Tn，求Tn．

a1n【知识点】数列求和D4

【答案解析】（1）an=2n+1．Sn==n2+2n．（2）n n1（1）设等差数列{an}的公差为d，∵首项a1=3，a8-a3=10，∴5d=10，解得d=2． ∴an=a1+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1．Sn= （2）∵n(32n1)2=n+2n． 241114= = =- ． an21(2n1)21n(n1)nn1∴Tn=(1- 111111n)+( - )+…+(-)=1-=． 223nn1n1n1【思路点拨】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；

（2）利用“裂项求和”即可得出．

【题文】20. （本小题满分12分）函数f(x)xaxbxc,以曲线yf(x)上的点

32P(1,f(1))为切点的切线方程为y3x1.

（1）若yf(x)在x2时有极值，求f(x)的表达式； （2）在(1)的条件下，求yf(x)在3,1上的最大值．

【知识点】导数的应用B12

【答案解析】（1）f（x）=x3+2x2-4x+5（2）13

（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数得f'（x）=3x2+2ax+b

过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f'（1）（x-1） 即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1） 故32ab32ab0即

abc21abc3∵有y=f（x）在x=-2时有极值，故f′（-2）=0 ∴-4a+b=-12…（3）

由（1）（2）（3）相联立解得a=2，b=-4，c=5 f（x）=x3+2x2-4x+5．

（2）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）

f（x）极大=f（-2）=（-2）3+2（-2）2-4（-2）+5=13f（1）=13+2×1-4×1+5=4 ∴f（x）在[-3，1]上最大值为13． 【思路点拨】（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x=-2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式．

（2）先求函数的导数f'（x），通过f'（x）＞0，及f'（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的极值即可．

【题文】21.（本小题满分12分）设点F1(c,0),F2(c,0)x22分别是椭圆C:2y1(a1)的左、右焦点,P为椭

a圆C上任意一点,且PF1PF2的最小值为0.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，动直线l:ykxm与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml,F2Nl，求四边形F1MNF2面积S的最大值. 【知识点】椭圆及其几何性质H5

x22【答案解析】（1）+y=1（2）2 2（1）设P（x，y），则PF1=（x+c，y），=（x-c，y）， 222a212222∴PF1PF2=x+y-c=x+1-c，x∈[-a，a]，由题意得，1-c=0⇒c=1⇒a=2， 2ax22∴椭圆C的方程为+y=1； 2（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x2+2y2=2中，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0． 由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）=0， 化简得：m2=2k2+1． 设d1=|F1M|=kmk12，d2=|F2N|=kmk12， 当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1-d2|=|MN|×|tanθ|，∴|MN|=1•|d1-d2|， k∴S=2m4m411••d1-d2|•（d1+d2）=2=2=， 1k1m1m2km∵m2=2k2+1，∴当k≠0时，|m|＞1，|m|+1＞2，∴S＜2． m当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2． 所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2． 2222a1【思路点拨】（1）利用PF1PF2的最小值为0，可得PF1PF2=x+y-c= x2+1-c2， 2ax∈[-a，a]，即可求椭圆C的方程； （2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1-d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质，结合当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，即可得出S的最大值． 【题文】22.（本小题满分12分）已知函数f(x)axlnxbxc在x1处取得极值

33c2，a,b,c为常数，

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x0，不等式f(x)c恒成立，求c的取值范围． 【知识点】导数的应用B12

【答案解析】（1）a=-6，b=2（2）增区间为（0，1）减区间为（1，+∞） （3）（-∞，-1）∪（2，+∞）

（1）∵f（x）=ax3lnx+bx3+c，∴f′（x）=3ax2lnx+ax2+3bx2， ∵函数f（x）=ax3lnx+bx3+c在x=1处取得极值c+2， ∴2f(1)a3b0，解得a=-6，b=2．

f(1)bcc2（2）由（1）得f′（x）=-18x2lnx，x＞0，

由f′（x）＞0，得0＜x＜1，∴增区间为（0，1）； 由f′（x）＜0，得x＞1，∴减区间为（1，+∞）．

（3）当x＞0时，f（x）＜c2恒成立的充要条件是f（x）最大值＜c2， 由（2）知所以f（x）最大值=f（1）＜c2 即c2＞2+c，解得c＜-1或c＞2．

所以c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

f(1)a3b0【思路点拨】（1）由已知得f′（x）=3axlnx+ax+3bx，从而 ，

f(1)bcc22

2

2

由此能求出a=-6，b=2；

（2）由（1）得f′（x）=-18x2lnx，x＞0，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间； （3）当x＞0时，f（x）＜c2恒成立的充要条件是f（x）最大值＜c2，由此能求出c的取值范围．