最新2019高考数学《导数及其应用》专题完整题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷

导数及其应用

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．设曲线yA．2 D.

x1在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a（ ） x111B． C． D．2(2008全国1理)

22由yx12211,y',y'|,a2,a2 x32x1x12x122．设函数f(x)g(x)x，曲线yg(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A．4 B．11 C．2 D． 42（2009江西卷理） 二、填空题

3．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等式f(x)b2

≥f′(x)恒成立，则a2+c2的最大值为 ▲ ．

4．奇函数f(x)axbxcx在x1处有极值，则3abc的值为 ▲ ． 5．曲线yx2x1在点（1,0）处的切线方程为________ 6．函数f(x)asin2xe,若f'(0)7, 则a的值是 ▲ 3223x7．若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax22x9都相切，则a ． 8．函数f(x)2x3x12x1在区间[m,1]上的最小值为－17，则m= 9．曲线fxxlnx在点x1处的切线方程为 ▲ .

32xf(x)e2xk在R上有两个零点，则实数k的取值范围为_____________ 10．若函数

11．y=x3+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则a= ．

12．与直线yx2平行且与曲线yxlnx相切的直线方程为 ▲ ．

三、解答题

13．已知函数f(x)x1alnx(aR).

（1）若曲线yf(x)在x1处的切线的方程为3xy30，求实数a的值； （2）求证：f(x)0恒成立的充要条件是a1；

（3）若a0，且对任意x1,x20,1，都有|f(x1)f(x2)|4|取值范围.

211|，求实数a的x1x2

另

14．如图：设工地有一个吊臂长DF15m的吊车，吊车底座FG高1.5m，现准备把一个底半径为3m高2m的圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩上？ （参考数据：30.20.58,

0.660.81）

E D C B 13215．设函数f(x)x(1a)x4ax24a，其中常数a>1

3(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

F G A H 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

16．设函数f(x)x，g(x)alnxbx(a0)．

（Ⅰ）若f(1)g(1),f'(1)g'(1)，求F(x)f(x)g(x)的极小值；

2（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k和m，使得f(x)kxm和

g(x)kxm？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．

（Ⅲ）设G(x)f(x)2g(x)有两个零点x1,x2，且x1,x0,x2成等差数列，试探究

G'(x0)值的符号．

17．设函数fxsinxcosxx1，0x2，求函数fx的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.

【解题指导】（1）对函数fxsinxcosxx1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.

解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（3，2），2333单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=2222

【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.

18．设函数f(x)x(x1)，x0． ⑴求f(x)的极值；

2⑵设0a≤1，记f(x)在0,a上的最大值为F(a)，求函数G(a)2F(a)的最小值； a⑶设函数g(x)lnx2x4xt（t为常数），若使g(x)≤xm≤f(x)在(0,)上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．

19．已知定义在R上的函数f(x)x(ax3)，其中a为常数. （1）若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；

（2）若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；

（3）若函数g(x)f(x)f(x),x[0,2]，在x0处取得最大值，求正数．．a的取值范围.

20．已知函数f(x)e2x3x.

(I）求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ）求证函数f(x)在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相

0.3

应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，e≈1.6，e≈1.3）

2x2(III）当x值范围。 高

15时,若关于x的不等式f(x)x2(a3)x1恒成立,试求实数a的取2221．设函数y=f(x)对任意实数x，都有f(x)=2f(x+1)，当x∈ [0,1]时，f(x)=

272

x(1-x). 4(Ⅰ)已知n∈N+，当x∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式； (Ⅱ)求证：对于任意的n∈N+，当x∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤

1； n2(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞)，若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由.

22．已知函数f(x)(xa)2ex在x2时取得极小值． （1）求实数a的值；

（2）是否存在区间m,n，使得f(x)在该区间上的值域为[e4m,e4n]？若存在，求出m，n的值；

若不存在，说明理由．

23．已知函数f(x)满足满足f(x)f(1)ex1f(0)x（1）求f(x)的解析式及单调区间； （2）若xR，f(x)

24．设函数f(x)xkxx kR.

3212x. 212xaxb恒成立，求(a1)b的最大值. 2(1) 当k1时,求函数f(x)的单调区间;

(2) 当k0时,求函数f(x)在k,k上的最小值m和最大值M,f（2013年高考广东卷（文））

25．已知函数f(x)x2lnx. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使tf(s).

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为sg(t), 证明: 当t>e2时, 有（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）） 26．设f(x)lnx.g(x)f(x)f(x). （1）求g(x)的单调区间和最小值；

2lng(t)1.5lnt2'x3x22kx11 （2）讨论g(x)与g()的大小关系；

x （3）求使得g(a)g(x)

27．已知函数f(x)2x31对任意x0恒成立的实数a的取值范围. a32t1tx3t2x，xR，其中tR． 221当t1时，求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

2当t0时，求f(x)的单调区间；

3证明：对任意的t(0,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。（本题16分）

28．若函数f(x)x(lnxa)（a为实常数）. （1）当a0时，求函数f(x)在x1处的切线方程； （2）设g(x)|f(x)|. ①求函数g(x)的单调区间；

②若函数h(x)分）

12的定义域为[1,e]，求函数h(x)的最小值m(a).（本小题满分16g(x)试题解析：（1）当a0时，f(x)xlnx，f(x)lnx1，

kf11， …………………2分

又当x1时，y0，函数f(x)在x1处的切线方程yx1； ………………………4分

a2e2，所以h(x)在区间[1,e2]上的最小值为m(a)1.

a2e21a0,2ae2,1综上所述，m(a),2a3, ………………………16分 a1e1a3.a2e2,29． （本题满分16分）设函数f1(x)14xaex（其中a是非零常数，e是自然对数12的底），记fn(x)fn1(x)（n2，nN*）

（1）求使满足对任意实数x，都有fn(x)fn1(x)的最小整数n的值（n2，

nN*）；

（2）设函数gn(x)f4(x)f5(x)fn(x)，若对n5，nN*，ygn(x)都存在极值点xtn，求证：点An(tn,gn(tn))（n5，nN*）在一定直线上，并求出该直线方程；

（注：若函数yf(x)在xx0处取得极值，则称x0为函数yf(x)的极值点.） （3）是否存在正整数kk4和实数x0，使fk(x0)fk1(x0)0且对于nN*，

fn(x)至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k和x0，若不存在，说明理由．

30．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 P

关键字：应用题；翻折问题；求测面积；求体积；求导数；求最值

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