基于重要抽样法的模糊可靠性数字仿真

自然科学版)

JOURNALOFHEFEIUNIVERSITYOFTECHNOLOGY

合肥工业大学学报(

Vol.31No.1󰀁Jan.2008󰀁

基于重要抽样法的模糊可靠性数字仿真

刘建峰,󰀁吴成龙,󰀁王爱囡,󰀁董玉革

合肥230009)

1

2

3

1

(1.合肥工业大学机械与汽车工程学院,安徽合肥230009;2.江淮汽车股份有限公司,安徽合肥230022;合肥工业大学理学院,安徽

摘󰀁要:文章利用重要抽样法,通过对模糊变量的当量随机变量的抽样,用数字仿真的方法估计零件的可靠性。在把模糊变量转化成当量随机变量后,根据当量随机变量的信息利用遗传算法计算设计点,并构造重要抽样密度函数,然后通过对当量随机变量重新抽样来计算零件的失效概率。用算例比较了重要抽样法和蒙特卡罗法的计算结果,验证了用重要抽样法对模糊变量进行抽样的可行性和效率。关键词:模糊变量;当量随机变量;重要抽样法;遗传算法

中图分类号:TH122󰀁󰀁󰀁文献标识码:A󰀁󰀁󰀁文章编号:1003󰀁5060(2008)01󰀁0116󰀁05

Digitalsimulationoffuzzyreliability

basedontheimportancesamplingmethod

LIUJian󰀁feng,󰀁WUCheng󰀁long,󰀁WANGAi󰀁nan,󰀁DONGYu󰀁ge

1

2

3

1

(1.SchoolofMachineryandAutomobileEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China;2.AnhuiJianghuaiAuto󰀁mobileCo.,Ltd,Hefei230022,China;3.SchoolofSciences,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China)

Abstract:Adigitalsimulationmethodforestimatingthepart󰀂sreliabilitybasedontheimportancesamplingmethodisdiscussed.Afterthefuzzyvariableistransformedtotheequivalentrandomvaria󰀁ble,adesignpointiscalculatedaccordingtothegeneticalgorithm,andanimportantsamplingdensityfunctionisobtainedbasedontheequivalentrandomvariable.Thenthefailureprobabilityisobtainedbysamplingtheequivalentrandomvariables.AnexampleisgiveninordertocomparetheresultsbyusingthemethodinthispaperwiththosebytheMonteCarlomethod.Theexampleprovesthattheimportancesamplingmethodisfeasibleandeffectiveforsamplingthefuzzyvariables.

Keywords:fuzzyvariable;equivalentrandomvariable;importancesampling;geneticalgorithm󰀁󰀁对模糊可靠性分析方法的研究已取得了巨大的进展[1-10]。采用模糊数学的截集概念是一种有效的模糊可靠性分析方法

[1]

属函数除以隶属函数与横轴所夹的面积。因此,隶属函数及其变换的概率密度函数具有相同的函数形式,仅差一个常数而已,该方法对两者之间的变换要求

[11]

,虽然对该方法有

进一步研究[2,3],但是研究结果表明,该方法难以应用于多个模糊变量的场合。文献[5~8]在文献[1]的基础上,推导出了模糊变量变换为当量随机变量,建立了模糊可靠性和随机可靠性统一分析方法。其他研究人员也尝试用传统的随机可靠性理论分析模糊可靠性问题

[9,10][4]

难以满足,难有说服力。

由于概率论和模糊数学在处理问题的方法上的差异,隶属函数变换为概率密度函数后已不是已知的常用概率分布函数类型[6,7],因此计算模糊可靠性有一定的困难,这时除采用等效正态分布法外,MonteCarlo仿真法是一种常用而有效,且可以获得比较精确结果的方法。但是,当失效

,但是其给出的

由隶属函数变换所得的概率密度函数,其实是隶󰀁󰀁

收稿日期:2006󰀁12󰀁22

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50375042)

作者简介:刘建峰(1981-),男,湖北崇阳人,合肥工业大学硕士生;

董玉革(1967-),男,安徽合肥人,合肥工业大学教授,博士生导师.

󰀁第1期刘建峰,等:基于重要抽样法的模糊可靠性数字仿真117

概率较小时,MonteCarlo法的效率极低,采用重要抽样法则可提高抽样的效率。在应用重要抽样法时,可用当量随机变量的有关参数构造重要抽样法的重要抽样密度函数。

󰀁󰀁重要抽样法应用的关键是如何选取重要抽样函数,即抽样函数的类型及其分布参数。目前关于重要抽样函数类型比较认同的是采用n维无关正态概率密度函数,此时需确定均值和方差。关于这两者的选取,文献[12]建议以设计点为采样中心,文献[13]建议采用中心按(7)式确定为

f(V*)=maxf(V),g(V*)!0

(7)

󰀁󰀁另一种以增加有效抽样比例为目标确定采样中心的方法,由(8)式表述[13]

E(V)=E(X|X&#f)D(V)=D(X|X&#f)

(8)

1󰀁模糊变量向当量随机变量的变换

连续模糊变量x󰀂的当量随机变量x的概率密度函数fxT(x)的一般表达式[7,8]为

L(x)

d󰀁󰀁x!m0b󰀁-a󰀁

fxT(x)=(1)R(x)

d󰀁󰀁x>m0b󰀁-a󰀁

其中,xT为模糊变量x󰀂变换的当量随机变量;

T

fxT(x)为x的概率密度函数;m、L(x)、R(x)分别为x󰀂的均值、左参照函数和右参照函数;󰀁为模糊集x󰀂的阈值,a󰀁、b󰀁为由阈值󰀁确定的x󰀂的区间数。对于线性模糊变量,根据上述变换可得其当量均值和当量标准差为[7,8]

T󰀂x=m+( -!)/4(2)

T

式中󰀁#f∋∋∋失效区域

若有必要还可采用自适应的重要抽样法。Bucher最早提出,其迭代过程[13]为

V

(0)

=X

(k+1)

E[V]=E[V

(k)

|V

(k)

&#f]

(9)

D[V(k+1)]=D[V(k)|V(k)&#f]

󰀁󰀁重要抽样法与直接抽样法相比并无本质上的区别,只是改变了抽样的重心,即将抽样的重心转

移到结构失效概率贡献较大的区域。若重要区域选的不合理,精度则难以保证。在方差选择上,本文以当量随机变量的当量标准差的3倍作为重要抽样密度函数中相应随机变量的标准差。2 2󰀁设计点的计算

设计点是极限状态曲面上最大可能失效概率的点。从几何意义上看,在标准正态坐标系中,从原点O(到极限状态曲面的最短距离为可靠度系数 ,而对应的极限状态曲面上的这一点,即为设计点。

设计点一般可采用改进的一次二阶矩法,用迭代法进行求解。在一般情况下,迭代能够收敛,但在某种情况下,迭代不一定收敛,即不能保证在所有情况都能够收敛。此外,迭代过程中需要解非线性方程,特别是当方程的非线性程度较高时,求解方程比较困难,当方程有多个解时,对结果的取舍也难以抉择。

当遇上述诸多困难时,采用改进的一次二阶矩法是难以胜任的。因此,本文引入遗传算法来计算设计点。2 3󰀁算法步骤

本文采用的重要抽样法提高抽样效率的算法包括3个紧密相连的步骤:

(1)模糊变量变换为当量随机变量;(2)遗传算法计算设计点,构造重要抽样密度函数;! +7( -!)(3)9144

其中,!、 分别为模糊变量x󰀂的左、右分布参数。

∀xT=

22󰀁重要抽样法

2 1󰀁基本概念

重要抽样法是一种方差缩减技术,其基本思想是通过修改抽样过程,改变随机变量的抽样重心,使对失效概率贡献大的抽样出现的概率增加,抽取的样本点有更多的机会落入失效域内,使抽样点更有效。

重要抽样法的基本概念为

+∀

(4)Pf=-∀I[g(V)]f(V)h(V)dV

h(V)

其中,Pf为失效概率;V为随机变量矢量;h(V)为新选的重要抽样密度函数;f(V)为原抽样密度函数;I[g(V)]为示性函数。

1󰀁g(V)!0

I[g(V)]=

0󰀁g(V)>0

作为概率密度函数,h(V)应满足条件

h(V)>0,

󰀁󰀁若以h(V)对V重新抽样,则Pf的模拟均值和方差分别为

N1I[g(Vi)]f(Vi)Pf∃E(P^f)=%Ni=1h(Vi)11D(P^f)=

N-1N

f(Vi)I[g(Vi)]%h(Vi)i=1

N

2

h(V)dV= #

#

1(5)

-P^f

2

(6)118

󰀁󰀁󰀁

合肥工业大学学报(自然科学版)第31卷󰀁

(3)按新抽样过程进行抽样计算失效概率。以文末的算例简要说明算法步骤。设极限状态方程为Z=g(s,rT)=rT-s=0,概率密度函数为fs(s),rT的概率密度函数为frT(r)。2 3 1󰀁遗传算法计算设计点

遗传算法的设计涉及到编码、选择适应度函数、遗传算子(选择算子、交叉算子、变异算子)选择、群体设定(群体大小、交叉概率、变异概率、终止条件)、约束处理等方面。

(1)个体编码(Coding)。采用二进制编码,二进制编码与实值的对应关系可由下面简单的线性关系求得。

设二进制编码位数为nc,表示的十进制数的范围为[xmin,xmax]。若某二进制数直接对应的十进制数为x10,则其对应的实际值为

xmax-xmin

x=xmin+)x10(10)n2c

󰀁󰀁对正态随机变量分布参数若(󰀂,∀),取[xmin,xmax]为[󰀂-5∀,󰀂+5∀];对当量随机变量,取

TTTT[xmin,xmax]为[󰀂x-5∀x,󰀂x+5∀x]。

(2)父代群体初始化(Initialization)。设群

大于u的最小pk值对应的个体被选中保留。重复cnt次,即可完成群体的选择,一次均未选中的个体被淘汰,最后将f(s,r)值最大的个体直接保留到下代中。

(4)交叉操作(Cross󰀁over)。群体中个体随机两两组合。设某两个随机组合的个体I1和I2,

11112222

编码分别为s11s2#smr1r2#r1n和s1s2#s2mr1r2#

rn,按交叉概率pc(随机产生[0,1]上的均匀数u,若不大于pc,认为达到概率,需交叉重组)随机选取交叉点c(c=1,#,m+n-1)进行交叉重组,

1122222221

生成下代s11s2#sc#smr1r2#rn和s1s2#sc#smr1r2#rn(此处设c(5)变异操作(Mutuation)。个体按变异概率pm随机选取变异点b(b=1,#,m+n)进行变异,将s1s2#sb#smr1r2#rn(此处设b(6)演化迭代至群体最优(Generation)。重复步骤(3)~(5),直至连续几代个体平均适应度的差异小于要求的极小偏差值e或迭代次数达到某预定值ngen时,认为群体最优,可作为最优的设计参数解码(󰀂ds,󰀂dr)输出。

2 3 2󰀁按新抽样过程抽样计算可靠度

在求出设计点之后,就可进行重要抽样模拟。若设计点为(󰀂ds,󰀂dr),且以原随机变量或当量随机变量的标准差的3倍作为新随机变量的标准差,则新抽样的随机变量服从N(󰀂ds,3∀s)和

TTN(󰀂dr,3∀r),密度函数分别为fds(s)和fdr(r)。1

1

1

2

体规模为cnt,随机变量s,r(其二进制编码位数分别为m和n)。首先,随机生成s的二进制值s1s2#sm,再利用g(s,r)=0解出r,对应编码为

r1r2#rn,再组合成个体s1s2#smr1r2#rn,此为编码过程。循环cnt次即生成初始群体。

(3)选择操作(Selection)。设计点的计算涉及到最短距离,即目标函数的最小值,而适应度函数是求最大值,且为非负值。这需要将目标函数的最小值问题转换成适应度函数的最大值问题,并保证适应度函数值非负。

适应度函数可采用如下形式:

T

(11)f(s,r)=l-(s-󰀂s)+(r-󰀂r)

其中,l为事先设定或动态调整的上临界值。动

设xf为失效发生时的累加变量,并使初值为0。

(1)生成随机变量和当量随机变量样本点列。由于重要抽样法采用的新抽样密度函数为n维无关正态概率密度函数,因此这里只需产生服从正态分布的随机点矢量。设U1和U2是两个相互独立的(0,1)均匀分布随机变量,则产生的2个相互独立的正态分布N(󰀂ds,∀s)和N(󰀂drT,∀rT)的随机数为

s=󰀂ds+∀s

T

22态调整时,可使l总等于

22(s-󰀂s)+(r-󰀂rT)

的最大值。

将第i个个体解码为变量si和ri,求f(si,ri)。求出所有个体的f(s,r)后,再对群体按个体的适应度f(si,ri)大小进行概率选取。采用轮盘赌策略

[14]

cnt

-2lnU1cos(2∃U2)-2lnU1sin(2∃U2)

drT+∀rTr=󰀂

,计算各个体f(s,r)之和i%f(si,ri),再=1

cntk

cnt

󰀁󰀁若有多个无关的正态随机变量,则其随机数

仍可按上述方法产生,记做s1,s2,#,sm,r1,r2,#,rn,si(i=1,#,m)是影响应力的变量,简记为矢量s;rj(j=1,#,n)是影响强度的变量,简记为矢量r。本文的算例中,仅讨论两个变量的情况,s为随机应力,rT为当量随机强度。顺序算出个体在i%f(si,ri)中所占累积比例,即=1

pk=

i=1

%f(s,r)/%f(s,r)

i

i

i

i

i=1

󰀁󰀁接着,生成[0,1]上的均匀分布随机数u,则󰀁第1期刘建峰,等:基于重要抽样法的模糊可靠性数字仿真

T

119

(2)第k次抽样得到的随机数记为sk,rk,代入极限状态函数g(s,rT)计算,若g(sk,rTk)<0,fs(sk)frT(rTk)计算T,并将结果加到xf上,第k次

fds(sk)fdr(rk)抽样结束;若g(sk,r)∗0直接进行下次抽样。(3)当抽样进行了抽样总数N次后,抽样结束。计算失效概率为

Pf∃xf/N

Tk

从表1可看出,蒙特卡罗法在抽样次数为10,000次时,多次仿真试验得到的失效概率为0。也就是说失效概率比较小,抽样点不易抽在失效区域。当模拟次数达到100,000时,每次仿真试验总可以保证有抽样点在失效区域。

用重要抽样法(N=10,000),取cnt=120,pc=0 99,pm=0 005,ngen=120时,按遗传算法计算得设计点为(119 993,119 993)。在此基础上,50次仿真试验估计的失效概率见表3所列。

表2󰀁Pf的50个估计值(蒙特卡罗法,N=100,000)

1

12345678910

2

3

4

5

3󰀁算󰀁󰀁例

取线性模糊强度的隶属函数为

01-󰀂r(r)=!

1-140-r

10r-140100

r!130130150

0 0000400 0000900 0000900 0000900 0000600 0000500 0000700 0000500 0000600 0000500 0001000 0001000 0001200 0000000 0000700 0000400 0000400 0000500 0001000 0000500 0000900 0000400 0000400 0000700 0000400 0000900 0000200 0000400 0000800 0000900 0001300 0000600 0000800 0001000 0000400 0001000 0000400 0000400 0000500 0000600 0000500 0000900 0000600 0000500 0001200 0000300 0000600 0000500 0000900 000080表3󰀁Pf的50个估计值(重要抽样法,N=10,000)

1

2

3

4

5

󰀁󰀁正态随机应力的概率密度函数为

(s-100)21fs(s)=exp-2)102102∃

s&(-∀,+∀)

󰀁󰀁由(1)式得模糊强度的当量随机强度概率密度函数为

0

-f

rT

r!130130r>150

12345678910

0 0000670 0000720 0000820 0000980 0000770 0000680 0000700 0000760 0000700 0000680 0000770 0000630 0000860 0000730 0000680 0000570 0000770 0000770 0000580 0000590 0000620 0000830 0000720 0000560 0000810 0000780 0000760 0000590 0000770 0000790 0000800 0000920 0000920 0000880 0000730 0000830 0000620 0000630 0000750 0000730 0000800 0000740 0000650 0000820 0000700 0000800 0000620 0000610 0000720 000082

(r)=

1140-rln2010

r-140-1ln

1020

0

󰀁󰀁由(2)式得模糊强度的当量均值为

󰀂rT=140

󰀁󰀁由(3)式得模糊强度的当量标准差为

rT=10/3∀

󰀁󰀁采用蒙特卡罗法,做50次仿真试验来估计失

从表3可以看出,采用重要抽样法在抽样次数为10000时,就可以保证每次仿真试验总有抽样点在失效区域,而蒙特卡罗法在抽样次数为10000次时却不能保证做到这一点。比较表2和表3知,重要抽样法在抽样次数10000次时的估计值比蒙特卡罗法在抽样次数100000次的估计值更好,分散性更小。

因此,用重要抽样法进行模糊可靠性分析可以大大地减小计算量,明显地提高计算效率。

效概率,每次仿真试验的抽样次数N分别为10000和100000时,每次仿真试验估计的失效概率分别见表1和表2所列。

表1󰀁Pf的50个估计值(蒙特卡罗法,N=10000)

1

12345678910

0 0003000 0001000 0000000 0000000 0000000 0001000 0001000 0003000 0001000 000000

20 000

0 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000

000

200000100000100200100100200

30 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000

200

100000100100000000000000100

40 0001000 0000000 0002000 0000000 0000000 0000000 0000000 0001000 0001000 000300

50 000000

0 0000000 0002000 0000000 0000000 0002000 0001000 0000000 0000000 000000

4󰀁结束语

本文利用模糊变量变换为当量随机变量,引入遗传算法和重要抽样法,通过改变抽样重心,使

对失效概率贡献大的样本出现的概率增加,从而120

󰀁󰀁󰀁

合肥工业大学学报(自然科学版)第31卷󰀁

提高抽样效率,解决了机械模糊可靠性分析中蒙特卡罗抽样法在机械零件失效概率较小时,计算效率较低的问题。

用遗传算法优化设计点,概念明确,操作简单,适应性强,且具有较大的计算优势。重要抽样法由于采用的重要抽样密度函数服从正态分布,因此比蒙特卡罗法更适合模糊可靠性分析。

本文引入的方法具有一般性,为机械模糊可靠性分析提供了一种有效的途径,对解决复杂情况下的模糊可靠性问题具有重要的意义。

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(责任编辑󰀁吕󰀁杰)

(上接第62页)

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(责任编辑󰀁张󰀁镅)