“图形与位置”的备课与教学

“图形与位置”的备课与教学

一、怎样把握“图形与位置”的学习目标。

有关图形与位置的内容分布于两个学段,梳理其学习目标,可以归纳为两个方面。

其一,确定物体的相对位置。包括物体相对于观察者的位置、物体与物体的相互位置以及物体在其一参照系下的位置。这方面,第一学段的重点是让学生在具体情境中学会观察、描述物体的相对位置。第二学段要求学生用数对表示位置或根据数对借助方格纸确定位置。有必要指出：这里的数对,应理解为两个数组成的有序数对,旨在渗透平面直角坐标的思想方法,为第三学段学习平面直角坐标系作好铺垫,而不是正式教学平面直角坐标,也不宜拓展为由三个数组成的表示三维空间位置的数对。

其二,辨认方向和使用路线图（包括比例尺的应用）。这方面,第一学段的重点在于认识方向,会用方位词描述物体所在方向。“会看简单的路线图”只要求指出每次行进的方向。第二学段则要求用方向和距离两个要素描述或确定物体的位置,进而运用方向和距离画出路线图,并根据比例尺和图上距离求出实际距离,或者根据比例尺和实际距离求出图上距离。

对照原来的《小学数学教学大纲》可发现,在上述目标中除了第二学段有关比例尺的那一条之外,其他都是本次课改引进的内容。

仔细分析这些新增内容,对教师来说暂时还缺少教学经验,但对大多数学生来讲学习困难并不大。因为其中需要理解的知识性内容所占比重较小,主要是建立方位词的使用和图示方式、方法,比重较大的是操作性技能。但若偏离“初步认识”的整体定位,随意拔高要求,则无论是数数对表示位置,还是用方向和距离确定位置,都很容易构成超出多数学生认知水平的难题。就边“左右”也可能令学生捉摸不透。例如：

老大爷是左手举着鸟笼,还是右手举着鸟笼？

因为“被观察的是人”,所以应以老大爷为标准,答案是老大爷的左手举着鸟笼。

小男孩的左边有几个足球？

有两种意见,一种意见认为它和问题一相同,答案是小男孩的左边有4个足球。另一种意见认为它与问题一有区别,不是问人的左手拿着什么,所以应该有两种答案,即以观察者为标准,小男孩的左边有3个足球；以小男孩为标准,则他的左边有4个足球。

问题三：

小白兔的左边有几个萝卜？

同样有两种意见。一种认为小白兔是动物,应以观察者为标准；反对者认为,新课程要求教师关注儿童文化,在很多小学生看来,小白兔是他们的伙伴、朋友,难道我们不允许儿童对小动物“拟人化”吗？

这种钻牛角尖的题目令教师自己也“左右为难”了。

其实,对于左右的相对性,只要能够正确分辨他对面的人哪一只手是左手或右手,并能据此判断对面人的左边、右边就足够了。这对一年级学生来说并不困难。如果有个别学生不能每次都正确辨别自己和对面人的左右方位,也不必大惊小怪。因为儿童的发展有快有慢,并不是每个7岁儿童都能达到掌握左右的相对性这一概念水平。让儿童自己的发展去解决左右概念的发展问题,也不失为一种可以选择的策略。因为左右概念发展的迟缓,对小学二、三年级的数学学习影响并不大。

至于联系生活实际的应用,一个难度比较适当而又富有现实教育意义的情境就是“上下楼梯靠右行”。比如,人民教育出版社与江苏教育出版社的数学实验教材中都有这一内容。

在这个情境中,既有自己的左与右,又有对面同学的左与右,是综合性的应用练习,其辨别难度较大。但由于学生有一定的学校生活经验,所以多数学生能够理解。

从教学上下、前后、左右的目的看,主要是为了通过发展学生的方位知觉来帮助学生认知物体的相对位置（如同学上下楼梯时的相对位置）,并逐步形成空间观念。因此,没有必要引入判断标准由人到物的转换训练以及被观察物是否具有“生命”的辨析,也不宜在这里展开多种答案的讨论。因为儿童建立左右概念,不需要去区分被观察物是否具有生命,去经历“智力磨刀石”式的思辨性讨论。这类讨论用到了左右的概念,但却不是建立左右概念本身所需要的。

二、怎样把握“图形与位置”的教学内容。

1,物体相对位置的教学内容。

为使小学生认识三维空间,比较恰当的起点恐怕莫过于用上下、前后、左右来描述物体的相对位置了。因为相对于东、南、西、北来说,方位词上下、前后、左右在儿童生活中出现得更早,使用频率也要高得多。

研究表明,儿童最早分辨出的是垂直轴上边的方向,儿童对垂直轴下边方向的区分以及对水平面两对

方向（前和后,左和右）的区分则要晚些,其中尤以对左、右的区分更显困难。儿童在6岁时就能完全正确地辨别“上、下”、“前、后”,但对“左、右”的辨别尚未发展完善。在此过程中,儿童首先以自身为中心,把不同的方位与自己身体的一定部位相对应,建立起联系,如：上边是头,下边是脚,前面是脸,后面是背,右面是右手,左面是左手；然后才能逐步过渡到以别人为标准辨别前后、左右。

一般儿童对空间方位的表征有三种递进发展的形式：一是“自我中心的表征”,即用主体自身与目标物之间的位置关系来标明目标物的具体位置。如儿童背靠着物体,说物体在他的后面。二是“自然标志的表征”,即用环境中的其他物体与目标物之间的关系来标明目标物的具体位置。如茶几在沙发的前面。三是“去自我中心的表征”,即利用一些抽象的形式来描述目标物的位置。如用有序数对来描述目标物的位置。

以心理学的研究为依据,教材总是按照儿童认识空间方位的难易程度来编排教育顺序：“上、下”→“前、后”→“左、右”。同时,教材对于“上、下”、“前、后”的认识,通常尽量放手让学生独立辨别,对“左、右”的认识,则相对引导得多一些,并且总是从学生自身的左右过渡到对方的左右。换句话说,教学的重点和难点都在“左、右”。

关于用两个数确定“位置”的教学内容,多数教材在第一学段就已开始引入。这时的处理方式只是结合生活实际,让学生从两个维度,用两个“第几”来描述一个物体的位置,暂不要求用数对来描述。如“我的座位是第3组第2个”,不要求用（3,2）来确定“我”在教室里的位置。

在此基础上,到第二学段再抽象出数对,学习用数对来描述物体在一个平面中的位置,并学习在方格纸上用数对来寻找、确定位置。这时,数对的认识与折线统计图定点、描点的学习,可以起到相互促进、相得益彰的教学效果。

从数学的角度思考,上下、前后、左右这三组位置关系所确定的方向,与构成立体空间的三个维度（即

空间直角坐标系中的x轴、y轴、z轴）恰好对应。反过来,也可以认为空间直角坐标系就是上下、前后、左右的数学抽象。同样,从第一学段用两个“第几”来描述一个物体的位置,再到第三学段建立平面直角坐标系,正好构成一个较为完整的、螺旋上升的数学抽象过程。因此,在小学让学生掌握这些方位词的含义和相对性,对于他们初步感受抽象的立体空间,对于中学阶段学习平面的、空间的直角坐标系,有着隐性的后期效应。

如果从数学知识的逻辑顺序来讲,应该先建立平面直角坐标系,再讨论空间直角坐标系。然而,在小学却先讲上下、前后、左右,再学用两个“第几”描述位置,似乎颠倒了。这是为什么呢？原来,儿童最初的观察,看到的都是三维空间里的立体物品,随着知觉选择性的发展,才能将目光集中到物体外表的某个面上,进一步的发展又注意到了两个面相交的地方有一条“边”。这与几何学中,“点→线→面→体”的顺序恰巧相反。类似地,儿童开始区分上下、前后、左右的空间位置,也比他们在生活中感悟需要用两个“第几”来描述物体的平面位置要早得多。这里我们看到了一个协调数学知识逻辑顺序与儿童认知顺序的典型个案。

2,方向和路线图的教学内容。

在第一学段引导学生辨认方向,有两方面的认识基础。首先是儿童的生活经验。无论是生活在城市还是农村,儿童从小就知道太阳从东方升起,在西方落下。随着活动范围的扩大,儿童在日常生活中对东、南、西、北等方向的认识也逐步积累了一些感性经验。其次是关于上下、前后、左右的学习。尽管这些方位词与东、南、西、北等方位词属于两套方向系统,前者涉及三维,以自我为中心；后者只涉及二维,以地球为中心。但上下、前后、左右的正确使用,毕竟有助于发展学生的空间知觉和方向意识,从而也能为辨认东、南、西、北等方向和正确使用新学的方位词提供一定的学习基础。

有关水平面上八个方向的认识,教材一般分为两个层次。第一层次行认识东、南、西、北；第二层次再引进东北、西北、东南和西南。在第一层次中,首先引导学生从自身的方位出发,来认识东、西、南、

北方向,知道东、西是两个相对的方向,南、北是两个相对的方向,进一步了解东、南、西、北这四个方向之间的关系,并形成辨认的技能。然后再把这些方位和平面示意图或地图的方位联系起来,让学生认识上北、下南、左西、右东的规定。下面是比较典型的一个教材设计的实例（见人民教育出发社《数学》四下）,从中我们不难领悟由真实的现场情境抽象出平面示意图的大致教学脉络。

然后,教材通过呈现诸如街区图、导游图等平面示意图,创设“问路”之类的情境,让学生学习根据给定的一个方向辨认其余三个方向或七个方向,并描述行走的路线。这就将形成辨认图上方向的技能与学会看简单路线图的练习有机结合在一起了。

第二学段进一步引入用方向和距离确定物体的位置。这时,学生不仅能够根据东、南、西、北等八个方向描述物体的位置,而且在运用第几行、第几列等方式描述物体位置的学习过程中,已经初步认识了在平面内可以通过两个条件确定物体的位置。在此基础上,学习怎样通过方向和距离这两个条件确定物体的位置,仍然具有一定的难度。因为这两个条件不像数对那样都有序数,它们一个是角度,一个是距离,其中角度的规定,又比较复杂。目前的几套教材,都避开了测量学中的“方位角”,而采用比较直观的方式确定方向的角度。

按照方位角的定义,从某点的指北方向起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角。利用方位角便于计算；但对小学生来说,不够直观,测量时比较麻烦。比如方位角是210°（如图10）,它的位置可以更加直观地说成南偏西30°（如图11）,用量角器测量时只能量它的邻角（如图12）,或者量它的邻补角（如图13）,再计算出方位角。

目前的教材采用图11的方式确定方向的角度,比较直观。但随之而来的问题是,“南偏西30°”也可以说成是“西偏南60°”。对此,有的教材建议教师,出现两种答案时,“应告诉学生在生活中一般我们先说与离得较近（夹角较小）的方位”。仍以图11为例,一般说成“南偏西30°”。

有了这样的约定,学生确定某一方向的角度时,需要先看清物体所在方向线与东、南、西、北的哪个方向线靠得较近,然后再用量角器量出角度。类似地根据路线图描述行走方向时,同样需要先做出正确判断,再据此度量与陈述。

从数学的角度来看,用方向和距离确定位置,渗透了平面极坐标的思想。在极坐标系中,用两个坐标参数（r,）也可以表示平面上任意一点（如图14）。

有关比例尺的内容,主要是比例尺的含义及其表现形式（数值比例尺与线段比例尺）,按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。这些内容以前的小学数学教材中也有。改进之处主要是更加重视现实情境中的应用,更加关注问题解决策略的多样化。例如,看地图求两地的实际距离,不一定非要根据给定的比例尺和图上距离列出方程或算式求解,也可以用圆规和尺量出图上距离,利用图注的线段比例尺直接换

算成实际距离。

在小学学习比例尺,了解图形的缩小与放大,改变了图形的大小,但不改变图形的形状,对于以后认识图形的相似,探索相似图形的性质,具有一定的铺垫作用。

以上,为了方便叙述,把“图形与位置”的教学内容分成“相对位置”、“方向与路线图”两部分分别讨论。事实上,位置与方向既有区别,又有联系。无论是上下、前后、左右,还是东、南、西、北,都既可以用来描述物体的相对位置,又可以用来说明方向。例如,“我在你的东边”,“向东走”,前者表示相对位置,后者表示方向。此外,描述路线时,物体的位移,沿着道路前进可以看作平移,到某地点拐弯则相当于旋转。这又是“位置”与“变换”的内在联系。教师理解这些联系有助于全面把握教材,同时也是恰当应对学生质疑的一种必要储备。

三、怎样增强“图形与位置”的教学效果。

1,依据儿童认知空间方位的特点进行教学。

以左、右的教学为例。心理学的实验研究表示,儿童辨别左、右的依据主要是手（优势手即右手）。因此教学时,可以从举右手开始,让学生说明左、右手的习惯性分工,将左、右与自己的左、右手对应起来,以建立左、右的标准。初学时学生即使发生错误,也可以提醒他们联系左手和右手加以纠正。请看一年级下学期教学左、右的课例。

（1）导入新课,激发学生的学习兴趣。

师：今天这节课我们一起来做游戏,在游戏中学习新的本领,你们愿意吗？愿意的请举手。

（有的举左手,有的举右手。）

师：举着别放下。现在谁能告诉我你举的是左手还是右手？

生：我举的是右手。

师：那另外一只手是左手还是右手呢？

生：左手。

师：对,我们都有两只手,左手和右手。大家说说看,我们在生活中常用右手做哪些事情？

生：……

师：我们大部分小朋友都习惯右手做事。但是有一些小朋友是左撇子,习惯用左手做事。我们的左手和右手是一对好朋友,配合起来力量可大了。大家找一找,我们的身体上还有这样分左和右的好朋友吗？

生：……

师：我们身体上像左手、右手这样的好朋友可真不少呀！这节课就来认识左、右。（板书“左与右”。）

（2）巩固对自身左与右的认识。

师：你是怎么记住左和右的？

生：……

师：我们来运用左和右做个机器人游戏,我是遥控器,你们是机器人,我发出指令,比一比哪组机器人的动作做得又对、又快、又整齐。机器人准备好了吗？

伸出左手摆一摆；

跺跺你的右脚1,2,3。

师：现在遥控器要提高难度啦,听清楚。

左手拍左肩（做错的小朋友纠正）……

（3）感知身边的左与右。

师：自己身体上的左和右都清楚了。你身边的左和右分得清吗？我们来看这个同学（拿出小女孩的头像贴在黑板上）,她坐的方向和你们一样吗？

生：一样。

师：那么她的左和右在哪里呢,谁来贴贴看？

（请学生贴出左、右两字）

师：第二个游戏“找邻居”,请你们找出自己左边和右边的邻居。同桌两人互相说说。

（同桌两个学生互说、互评。）

师：我们来听听几位小朋友找的邻居对不对。

（学生汇报。）

师：每位同学都找到了自己的邻居,在以后共处的日子里,邻居之间可要相互团结、相互帮助。

（4）理解左右的相对性。

师：自己身边的左和右也分清楚了。那么左和右还有什么小秘密,你们想知道吗？现在我请一个小朋友上来。

（请一位同学上讲台,背对大家举起右手。下面的同学也举起右手。）

师：她现在和你们方向一样吗？

生：一样。

师：我们请她向后转。现在她和你们怎么样？

生：现在她和我们是面对面。

师：那么她的左和右呢？

师：哦,你们发现了什么？她的左与右和刚才的左与右有什么不一样？

生：左和右相反了。

师：（拿出另一个头像与左、右两字）谁来贴贴看。

师：对呀。面对面的情况下,左和右相反了。

师：现在我们请她做一些动作,你们说说她的动作是怎样做的。

（分别是：左手摸左耳；右手摸左边的辫子；右手碰左边的膝盖。）

师：你们说得很对。有什么好方法可以说得又快又准确？

生：我只要看。我看到的左就是她的右。

师：为什么？

生：因为我们面对面,左和右相反了。

师：你们真棒,一下子就发现了这个小秘密。

（5）巩固左右的相对性的练习。

师：下面我们就利用这个小秘密,再做一个机器人游戏。请全体起立,第一、第三行同学向后转。

现在前后两个同学都面对面了。听清楚指令：

用你的右手碰对方的右肩……

师：大部分同学都做对了,个别小朋友开始时反应有点慢,别着急,看看你的右手,想想他的右手在哪里,就能做对了。

（6）左右在生活中的应用。

①由学生举例说说左右在生活中的应用。

师：其实生活中有很多事情要用到左和右的。请小朋友们说说看,我们生活中哪些事情是按照左、右规则的呢？

生1：吃饭的时候用右手。

生2：写字的时候是先左后右。

师：对呀,我们写算式的时候也是从左往右写的。（课件演示算式书写过程：3＋2=5）还有吗？

知：我们读书的时候也是从左往右一个一个字读的。

②上下楼梯该靠哪边走？

师：真不错。我们生活中很多事情都要分清左右。请大家看这样一幅图。（课件演示：小朋友上下楼梯图）我们上下楼梯的时候该靠自己的哪边走呢？请你们讨论一下。

生：我们上下楼梯该靠右边走。

师：为什么呢？

生：因为不靠右边,如果一个人上楼靠右,另一个人下楼靠左,他们会撞的。

……

师：非常好。为了安全,避免碰撞,我们小朋友以后走楼梯的时候该靠自己的右边走。大家要遵守上下楼梯的规则。

（7）左右在数学中的应用。

①连加减的运算顺序。

师：那么左和右在数学中还有哪些应用呢？我们一起来看看。

8＋2＋3= 10－4＋5=

同桌两人互相说一说计算的过程和顺序。

师：你们是按照怎样的顺序算的？

生：从左到右。

师：这是什么？（在黑板上贴出数轴）我把1贴在这里,2该贴在1的哪边？

生：贴在1的右边。

师：3呢？4和5谁来再贴一贴。看来越往右的数越怎么样？

生：越大。

师：以后我们还会发现很多与左右有关的规律。

综观上述课例的教学过程：认识自身的左右→巩固练习（“机器人”游戏1）→认识身边的左右→巩固练习（找“邻居”游戏）→认识左右相对性→巩固练习（“机器人”游戏2）→了解左右的应用（生活中的应用→数学中的应用）。

整个过程脉络清晰,引领学生逐步提升左右概念的概括性和灵活性。在联系实际方面,又初步揭示了左右在数学中的应用,而不是整节课除了伸手、抬腿直至“韵律操”,没有一点数学味。

同样,教学东、南、西、北时,也应根据学生的认知特点,引导他们利用自身的方位来形成辨认东、南、西、北这四个方向的技能。例如,把学生带到操场上,让他们说一说早晨的太阳在什么方向。让学生面向东站好,告诉他们背对着的方向是西；再让学生伸开两臂,左手指的方向是北,右手指的方向是南。从而利用学生已有的前、后、左、右的方位知识与东、南、西、北建立起联系,帮助他们认识这四个方向。然后,结合学校的具体情况,让学生说出校园内的四个方向各有什么建筑物,使学生进一步熟悉东、南、西、北这四个方向,并能用这些词语描述建筑物所在的位置。

2,创设丰富的生活和活动情境开展教学。

图形与位置这部分内容与小学生的实际生活具有天然的联系。利用这一联系让学生在感兴趣的情境中进行学习,有利于唤起学生已有的常识和经验,提高感知的效果。

例如,在第一学段教学用两个序数表示位置,可以通过一系列的活动开展教学。

（1）让教室里第一行的同学起立,老师想请第2个同学回答问题,他是谁呢？（感受约定方向的必要性。）

（2）出示教室情境图：这是×年×班的同学们。看！他们坐得多整齐呀。班上来了一位新同学,他坐在你们的左边数起第3个座位上,他是哪个呢？为什么不能确定？（感悟只用一个第几还不能确定座位,引入两个第几。）

（3）介绍自己的座位——第几行第几个。（巩固）

（4）书架上找书——第几层第几本。（应用）

（5）居民楼找房间——第几单元几零几。（应用的拓展,序号和编号。）

（6）电影院找座位——第几排第几座。（涉及单、双号。）

又如,在第二学段教学比例尺,不妨先提出一个有趣的问题：一只蚂蚁从上海爬到北京,只用了10秒,这是怎么回事呢？由此引出中国地图。让学生观察：什么变了？什么没变？进而让学生讨论,怎样缩小才能使图形的形状不变？然后让学生尝试把长10米、宽7米的教室地面画在纸上,并完成下表。

在此基础上,概括比例尺的含义就“水到渠成”了。接下去可以小组为单位,分别研究各种城市地图、公园导游图、房屋平面图、仪器零件设计图等,通过交流,让学生凭借实例理解线段比例尺与数值比例尺、缩小比例尺与放大比例尺的异同。

教学实践表明,借助适当的情境与活动,揭示数学知识的实际背景遭到现实原型,鲜活、生动,能给学生留下深刻的印象,有利于所学知识的建构。

3,加强教学的针对性,突破学习难点。

学生在学习和掌握这部分内容的过程中,常会出现一些困难。这些困难往往与学习的难点有关。教师应当分析产生困难的原因：是技能问题还是认知问题,进而“对症下药”。例如,测量表示方向的角度,常有学生感到无从下手。以下面的问题为例：

星期日欢欢和乐乐约定去图书馆,他们各自从家出发,到学校会合,再一起去图书馆。请你根据下面的图示（图17）量一量,并说出他们所走的方向和路程。

这里,学生的主要困惑在于怎样量角,其原因除了量角器的使用不熟练之外,更主要的问题是不明确操作的步骤和不清楚该量哪个角。

对此,教师可以边示范边让学生跟着做：①找到欢欢家,在表示出发点的位置上用虚线画“十”字；②看仔细哪个角更小,标上记号；③用量角器量出这个角的度数。经过反馈,剩下的两个角就可以让学生自己完成,教师巡视辅导个别还有困难的学生。

在教学过程中,为了促进学生思考、理解,教师还应当有意识地寻找教学契机,启发学生质疑问难,或者针对学生的疑惑提出问题让学生讨论。例如：为什么平面图上要规定上北、下南、左西、右东？比例尺是一把“尺”吗？

必要时,还可以设计一些对比练习让学生辨析。例如：

（1）从一个点出发,画出“东偏北30°”与“北偏东30°”的方向线,比较它们的异同。

（2）在方格纸上描出数对（3,2）与（2,3）所表示的点,说说它们的区别。

（3）把线段比例尺（下图）改写成数值比例尺是（ ）,它表示把实际距离缩小到它的（ ）分之一。