小测试 总分10分 得分___________
1．（4分）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，则AF的长为__________． 2．（6分）如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD＝3CE，则 S△DEF∶S△ABC＝__________． A
A D
F
【教学目标】
掌握旋转全等的常见构造方法，能熟练进行有关证明和计算．
F
B E
C
D B
E C
【教学重难点】
辅助线的构造
考点：旋转全等
知识点与方法技巧梳理：
一、旋转全等常见的图形：
二、构造旋转全等的条件：
1．图中有相等的边（等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形）； 2．这些相等的边存在共端点． 三、构造旋转全等的技巧：
1．图形中出现旋转效果（有现成的全等）
条件：△ABC与△ADE为等腰三角形，绕公共点A旋转一定角度． 结论：①△ABD≌△ACE；②∠DOE＝∠DAE；③AO平分∠COD．
B
E O C A D
注：特殊情形△ABC与△ADE为等边三角形或等腰直角三角形 2．图形中没有出现旋转效果（通过作辅助线构造旋转全等） （1）遇到等边三角形，绕顶点旋转60°（顺、逆时针均可），构造全等三角形（如图1）． （2）遇到等腰直角三角形，绕顶点旋转90°（顺、逆时针均可），构造全等三角形（如图2）． （3）遇到等腰三角形，绕顶点旋转顶角度数（顺、逆时针均可），构造全等三角形（如图3）． A A P′ P′ A
P′ P
P P B C B C B C 图1 图2 图3
注意：如果旋转后涉及到三点共线问题，在描述辅助线时可以采用延长、截取或作垂直．
1
2019春季初二数学讲义（A级） 勤奋 博学 笃志 感恩 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点F． （1）求证：BF＝AC；
A
（2）连接DE，求证：DE平分∠ADB．
E D
F B C
【例2】如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB延长线上，且BE＝BF． （1）求证：BE＝BF且BE⊥BF；
C
（2）若∠CAE＝30°，BF＝1，求AC的长．
E
F B A
【例3】（2017金牛区期末）如图，等边△ABC的边长为8，AD⊥BC于D，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C按逆时针方向旋转60°得到CF，连接DF，则DF的最小值是__________．
A
E B C D
F
【例4】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以AB为边向右作等边△ABD，连接CD，则CD的最小值是__________． A
C B D 【例5】（2018棕北中学半期）如图，D是等边△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD＝__________． D
A
B C
2
2019春季初二数学讲义（A级） 勤奋 博学 笃志 感恩 【例6】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、C、D三点在同一直线上，连接EC．
E
（1）求证：EC⊥BD；
（2）若AB＝2，ED＝10，求EC的长． A
B C D
【例7】如图，△ABC为等边三角形，D为BC下方一点，∠ADB＝60°． （1）求证：AD＝BD＋CD；
（2）将△ACD沿AC翻折得到△ACF，连接BF，若CD＝2，BD＝4，求BF的长．
A A
E
B C B C
D D
备用图
F
3
2019春季初二数学讲义（A级） 勤奋 博学 笃志 感恩 【学习评估】
1．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DBC是直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，连接AD，若BD＝8，BC＝10，则AD的长为___________．
A D
B C
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD⊥BC于D，E是AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C按逆时针方向旋转45°得到CF，连接DF，则DF的最小值是__________．
A
E B D C
F
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为BC边上一动点，分别过点B、C作AP的垂线，垂足分别为D、E，求证：CE＝DE．
C
D
E P
A B 4．（2018青羊区期末）如图1，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、C、E在同一直线上．
（1）判断AE、BD的数量和位置关系（直接写出结论）； （2）将△DCE绕C点顺时针旋转到图2的位置，（1）中的结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，说明理由；
（3）在图2中，连接AD、BE，若BC＝4，CD＝2，求AD 2＋BE 2的值．
A
A
H D D
B C B C E
E 图1 图2
4
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