安徽省江淮六校2019届高三上学期开学联考理科数学试题(含解析)

江淮六校2019届高三上学期开学联考

理 科 数 学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．复数2i1i等于（ ）

A．4i B．4i

C．2i

D．2i

2．已知集合Ax|y3x，B0,1,2,3,4，则AB（ ）

A． B．0,1,2 C．0,1,2,3

D．,34

3．函数ylncosx2x2的图象是（ ）

A． B．

C．

D．

4．已知两个单位向量a和b夹角为60，则向量ab在向量a方向上的投影为（ ） A．1

B．1

C．1

12D．

2

x2y25．已知双曲线mm61(m0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方

程为（ ） ．x2y2A241

B．x2y2481

2y2C．x81

D．x22y281

6．在△ABC中，a1，b3，A6，则角B等于（ ） A．

23或3 B．

23 C．

3 D．

4 7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入x64，则输出的结果为（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ） A．

4635 B．

35 C．

1235 D．

36343 9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AC1与BB1所成的角为30， 则AA1（ ）

A．3 B．3 C．5 D．6

10．将函数fxcosxx22sin223cosx230的图象向左平移

3个单位，得到函数ygx的图像，若ygx在0,4上为增函数，则的最大值

为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

11．函数fx对任意的实数x都有fx2fx2f1，若yfx1的图像关于x1对称，且f02，则f2017f2018（ ） A．0

B．2

C．3

D．4

，B分别为椭圆x212．设Fy2a2b21(ab0)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，

C是直线ybax与椭圆在第一象限内的交点，若FOFCBOBC，则椭圆

的离心率是（ ） A．221217 B．2217 C．23 D．21

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．曲线ye5x2在点0,3处的切线方程为__________．

x2y514．若变量x，y满足约束条件x3，则zxy的取值范围是__________．

y415．已知0,，tan2，则cos2cos__________．

16．四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为

斜边的等腰直角三角形，若四棱锥SABCD的体积取值范围为43,833，则该四

棱锥外接球表面积的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤．

17．（12分）设Sn为数列an的前n项和，已知a37，an2an1a22n2． （1）证明：an1为等比数列；

（2）求an的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？

18．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：

（1）可用线性回归模型拟合y与x之间的关系吗？如果能，请求出y关于x的线性回归方程，如果不能，请说明理由；

（2）公司决定再采购A，B两款车扩大市场，A，B两款车各100辆的资料如表：

平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？

666参考数据：

x22ix17.5，

76，

i1xixyiy35，yiyi1i1133036.5．

nxixyiy参考公式：相关系数ri1nn；

xix2yy2i1ii1nˆxixyiy回归直线方程yˆbxaˆ，其中ˆbi1，abxnˆyˆ． x2ixi1

19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，AB∥DC，

ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点．

（1）证明：BEPD；

（2）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABD的余弦值．

20．（12分）已知△ABC的直角顶点A在y轴上，点B1,0，D为斜边BC的中点，且AD平行于x轴． （1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹为曲线，直线BC与的另一个交点为E．以CE为直径的圆交y轴于M、N，记此圆的圆心为P，MPN，求的最大值．

21．（12分）已知函数fxexax2． （1）若a1，证明：当x0时，fx1；

（2）若fx在0,有两个零点，求a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为2的直线l的参数方程为

x1tcosytsint为参数．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是cos24sin0．

（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）已知点P1,0．若点M的极坐标为1,2，直线l经过点M且与曲线C相交

于A，B两点，求A，B两点间的距离AB的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数fxx1

（1）求不等式fx2x11的解集；

（2）关于x的不等式fx2fx3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

江淮六校2019届高三上学期开学联考

理 科 数 学（一）答 案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

2【解析】2i4i241i1i22i2i，故选C． 2．【答案】C

【解析】集合Ax|y3xx|x3，B0,1,2,3,4， ∴AB0,1,2,3，故选C．

3．【答案】B

【解析】由题得fxlncosxlncosxfx，所以函数fx是偶函数， 所以图像关于y轴对称，所以排除A，C．由题得f13ln20，所以D错误，

故答案为B． 4．【答案】D

【解析】ababcos6012，

则向量ab在向量a方向上的投影为：abcosabaa2abaa12． 故选D． 5．【答案】D

x2my2【解析】双曲线m61(m0)的虚轴长是实轴长的2倍，

m2，则双曲线的标准方程是x2y2可得2m=m6，解得281．故选D．

6．【答案】A

【解析】∵a1，b3，Aa6，∴由正弦定理得：sinAbsinB． 31则sinBbsinA23a，又∵0B，ba，∴B或21233． 故选A． 7．【答案】C

【解析】输入x64，i1，x640，x12log2643，i112；

x30，x12log23，i213；

x112log230，x2log2(log23)，i314；

x12log2(log23)0，结束运算，输出i4，故选C．

8．【答案】C

【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为C2C134C31235．故答案为C．79．【答案】D

【解析】如图所示，连接A1C1，

∵B1B∥A1A，∴A1AC1是异面直线AC1与BB1所成的角，即A1AC130，在Rt△A1B1C1中，ACA22111B1B1C1112，

在Rt△AA1AC1中，有

1C1tan30，即AAAC1112AAtan306．故选D．

133

10．【答案】B

【解析】函数fxcosxx22sin223cosx230

sinx231cosx23sinx3cosx2sinx3， fx的图象向左平移

3个单位，得y2sinx33的图象，

∴函数ygx2sinx；

又ygx在0,T24上为增函数，∴44，即44，解得2，

所以的最大值为2．故选B． 11．【答案】B

【解析】因为yfx1的图像关于x1对称， 所以yfx的图像关于x0对称，即fx为偶函数， 因为fx2fx2f1，

所以f12f12f1，所以f10，fx2fx，

因此f2017f10，f2018f02，f2017f20182，故选B．12．【答案】A

【解析】根据FOFCBOBC，由平面向量加法法则， 则有BF为平行四边形FOBC的对角线，故S△BFOS△BFC，

x2联立椭圆y2baba2b21(ab0)、直线yax方程，可得C2,2，

∵S△BFOS△BFC，则 SBOFC2S△BOFbc，

S1a1bBOFCS△BOCS△OFC2b22c2bc，

可得a221c，∴ec122a＝221＝17，故选A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】5xy30．

【解析】ye﹣5x2的导数y﹣5e﹣5x， 则在x0处的切线斜率为5e05，切点为0,3， 则在x0处的切线方程为y5x3，即为5xy30． 故答案为5xy30． 14．【答案】1,7

x【解析】作出不等式组2y5x3对应的平面区域如图所示阴影部分△ABC；

y4

由zxy得yxz，即直线的截距最大，z也最大；

平移直线yxz，可得直线yxz经过点C3,4时，截距最大，此时z最大，

即z347；经过点A时，截距最小，由y=4x2y=5 ，得x3y=4 ， 即A3,4，此时z最小，为z341； 即z的取值范围是1,7，故答案为1,7． 15．【答案】535 【解析】∵0,，tan2，∴0,2，

则sin2cos241cos2cos24，解得cos55． ∴cos2cos2cos21cos215535155． 故答案为535．

16．【答案】283,20 【解析】四棱锥SABCD中，

可得：ADSA；ADABAD平面SAB平面SAB平面ABCD， 过S作SOAB于O，则SO平面ABCD， 设SAB，故VSABCD13SSO8ABCD3sin， 所以sin3,12，3,2312cos12， 在△SAB中，SAAB2，则有，SB221cos， 所以△SAB的外接圆半径rSB21cos2sinsin， 将该四棱锥补成一个以SAB为一个底面的直三棱柱，

得外接球的半径Rr21，S4R2421cos1， 所以S28283,20．故答案为3,20．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）证明：∵a37，a32a22，∴a23， ∴an2an11，∴aa11，

n1a12an12a2n2，

n1n11∴an1是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，an12n，∴an2n1， 22n1∴Sn12n2n1n2，

∴nSn2ann2n1n222n10 ∴nSn2an，即n，an，Sn成等差数列．

18．【答案】（1）yˆ2x9；（2）见解析

6【解析】（1）∵

x26ix17.5，

i1xixyiy35，

i16y2iy76，133036.5．

i1nixyiy∴rxi135nn35xix2y217.57635133036.50.96， iyi1i1所以两变量之间具有较强的线性相关关系， 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．

nxixyiybˆi135nx17.52， 2ixi1又x12345611131615202163.5，y616，

∴aˆybxˆ1623.59， ∴回归直线方程为yˆ2x9． （2）用频率估计概率，A款车的利润X的分布列为：

X 500 0 500 1000 P 0.1 0.3 0.4 0.2 ∴EX5000.100.35000.410000.2350（元）．

B款车的利润Y的分布列为：

Y 300 200 700 1200 P 0.15 0.4 0.35 0.1 ∴EY3000.152000.47000.3512000.1400（元）． 以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择B款车型． 19．【答案】（1）见解析；（2）1010．

【解析】（1）依题意，以点A为原点，以AB、AD、AP为轴建立空间直角坐标系如图，可得B1,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2，

由E为棱PC的中点，得E1,1,1．向量BE0,1,1，PD0,2,2， 故BEPD0，BEPD．

（2）BC1,2,0，CP2,2,2，AC2,2,0，AB1,0,0， 由点F在棱PC上，设CFCP，01， 故BFBCCFBCCP12,22,2， 由BFAC，得BFAC0， 因此2122220，34，即BF1132,2,2，

设nn1AB0，即x01x,y,z为平面FAB的法向量，则n1BF012x12y32z0， 不妨令z1，可得n10,3,1为平面FAB的一个法向量

取平面ABD的法向量n20,0,1，则cosnn1,n21n2n110，

1n21010所以二面角FABD的余弦值为1010．

20．【答案】（1）y24xx0；（2）23． 【解析】（1）设点C的坐标为x,y，

则BC的中点D的坐标为x1y2,2，点A的坐标为0,y2． AB1,y2y，ACx,2，

由ABAC，得ABACxy240，即y24x，

经检验，当点C运动至原点时，A与C重合，不合题意舍去． 所以轨迹的方程为y24xx0．

（2）依题意，可知直线CE不与x轴重合，设直线CE的方程为xmy1，点C、

E的坐标分别为x1,y1、x2,y2，圆心P的坐标为x0,y0．

2由y4x，可得my1y24my40，∴y1y24m，y1y24． x∴x1x2my1y224m22，∴xx01x222m21． ∴圆P的半径r12CE112x1x2224m242m22．

过圆心P作PQMN于点Q，则MPQ2．

在Rt△PQM中，cosPQx02m22rr12m22112m22， 当m20，即CE垂直于x轴时，cos12取得最小值为2，2取得最大值为3，

所以的最大值为

23． 21．【答案】（1）见解析；（2）e24,．

【解析】（1）证明：当a1时，函数fxexx2．则f'xex2x， 令gxex2x，则g'xex2，令g'x0，得xln2． 当x0,ln2时，g'x0，当xln2,时，g'x0 ∴fx在0,单调递增，∴fxf01．

（2）解：fx在0,有两个零点方程exax20在0,有两个根，

xaex2在0,有两个根， x即函数ya与Gxexe2的图像在0,有两个交点．G'xx2xx3，

当x0,2时，G'x0，Gx在0,2递增 当x2,时，G'x0，Gx在2,递增 Gx最小值为G2e2所以4，

当x0时，Gx，当x时，Gx， e2∴fx在0,有两个零点时，的取值范围是,4．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）见解析；（2）8．

【解析】（1）l:ytanx1； 曲线C的直角坐标方程为x24y；

（2）∵M的极坐标为1,2，∴点M的直角坐标为0,1． ∴tan1，直线的倾斜角34．

x12t∴直线l的参数方程为2t为参数．

y22t代入x24y，得t262t20．

设A，B两点对应的参数为ttt621，t2，则12 ， t1t22∴ABt1t2t1t224t1t272428．

23．【答案】（1）A,11,；

（2）1,． 【解析】（1）∵fx2x11， ∴x12x110，

当x1时，不等式可化为x12x110，解得x1，所以x1；当1x12，不等式可化为x12x110，解得x1，无解；

当x12时，不等式可化为x12x110，解得x1，所以x1

综上所述，A,11,．

（2）因为fx2fx3x1x2x1x21， 且fx2fx3a的解集不是空集， 所以a1，即a的取值范围是1,．