第3章(3.3)随相信号的最佳解调结构简介

3.3 在加性高斯噪声中（AGN）随相信号的最佳解调（信道引入的相位是未知的）

引言

1． 问题的提出

在实际数字通信系统中，确知信号在非白噪声（AGN）信道中传输时，由于种种实际因素的影响，接收信号相位发生随机变化，称为随相信号。

在AGN中随相信号的最佳解调，实质上是确知信号在非白噪声和随机相位干扰下的最佳解调。（注：假设幅度增益是常数）

随机相位干扰um(t)（确知）信道r(t)z(t),(非白）

2． 最佳接收准则

采用非白噪声中确知信号最佳接收准则，但同时必须考虑随机相位的统计特性。可以采用最小错误概率准则，最大后验概率准则。在M元信号等概条件下，通常采用最大似然函数准则。

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（注：终极的准则是最小误码率准则，等价于MAP准则(如下)

P(smr)p(rsm)P(sm)maxp(r)

等价于度量：PM(r,sm)p(rsm)P(sm)max即加权ML准则。在等概条件下等价于ML准则。

一．系统的描述

1． 引起接收信号相位随机变化的因素：

1） 发送端：载频OSC的相位不是绝对稳定不变的。 Oscillator 振荡器

2） 信道：在时变信道中，传输时延t0迅速变化。(注:时延可以折合为相位.)

AcosCt,t0t00Acos(CtCt0)Acos(Ct0)

3)接收端：载频OSC相位不稳定，可以折算到发送端。

v4）补：移动的Doppler 效应产生频偏

fdcos，而相位是频率的积分。

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5）随机相位的PDF（Probability density function） 即假定：服从均匀分布，即~U[0,2]

1 即 p()2, 02

在某种意义上说，均匀分布说明了最大的相位不确定性。

2． 接收信号的正交表示（应该是信号空间表示）

M元发送信号：

sm(t)Reum(t)ej2fct, m=1,2,...,M，

接收信号（等效基带）：

r(t)ejmum(t)z(t)（假设发第m个信号），

式中，m假定：未知，统计独立，均匀分布。（注：表明信道引入的相位是不可以估计和辨识的，信道变化莫测，适于无线快衰落信道的情况。）

z(t)——等效低通复高斯噪声。

若已知信号空间是以fn(t)为标准正交基的N维信号空间，r(t)可以展开成正交级数：

r(t)rnfn(t)n1N。

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式中第n个坐标为

rnejmumnzn，m1,2,...,M, n=1,2,...N。

因

221zn~N0,2z, z2E[|zn|] 故

rn~N(ejmumn,2z)（注：给定了和m）。

注：

znz(t)fn(t)dt0T，故

z2var(zn)Ez(t)fn(t)dtz(s)fn(s)ds0012TT1Ez(t)z(s)fn(t)fn(s)dtds200TTTTN0(ts)fn(t)fn(s)dtds00TN0fn(t)fn(t)dtN00

上式证明中用到zz()N0()。

12（补）命题：定义复噪声的自相关为 以证明：n(t)自相关函数为nn()＝Re[zz()ezz()E[z*(t)z(t)]j2fcj2fctn(t)＝Re[z(t)e], 可，实高斯噪声为

]。式中，

zz()E[z*(t)z(t)]12。

证明:

1n(t)＝[z(t)ej2fctz(t)ej2fct]2

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1n(t)＝[z(t)ej2fc(t)z(t)ej2fc(t)]2故

nn(t,)＝E{z(t)z(t)ej2f(2t)z(t)z(t)ej2f)1cc4z(t)z(t)ej2fcz(t)z(t)ej2fc(2t)}

但是E{z(t)z(t)}0（噪声为Circular）,故

14Re[zz()ej2fc]nn()＝E{z(t)z(t)ej2f)z(t)z(t)ej2f}cc

证毕。

1注：系数（2）的作用：为使nn()复包络形式与一般带通相互复包络形式相同。

对nn()取傅里叶变换，得

1nn(f)[zz(ffc)*zz(ffc)]2 （4-1-51）

对带通白噪声（带宽为B）：

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N,0zz(f)0,频域： 1B21fB2 (4-1-56) f时域：

zz()N0sinB ， (4-1-57)

当B时，得 zz()N0()，

(4-1-58)

其中，对任一m, n 值，umn为常数。zn，rn均为统计独立的高斯变量。

二．最佳接收机的结构

假定：M元信号等概。根据最大似然判决准则，当似然函数

p(rNm)max时，(m1,2,...,M ),判发送信号波形为um(t)，或信息m。

此时，错误概率最小。

r[r1,r2,,rN]TRNr(t)（注：通过将变换成N维空间向量，其中各个分量是r(t)在N维正交基

{fk(t)}k1,2,,N上的投影分量，且相互统计独立。从而将函数空间的处理，转化为

RN空间的处理。）

其中rN(r1,r2,,rN)，为r(t)在N维信号空间标准正交基fn(t)上各投影分量所确定的N维统计独

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立的高斯随机向量。由于rn在假定m确知下的条件联合概率密度函数（注：假设幅度增益是常数）（注：下标m表示假设发送的信号。）：

p(rN|m,m)p(r1|m,m)Nn1p(r N|m,m) =p(r n|m,m) =( =(12n12n)exp(N12|rn1TN nejmumn|2）)Nexp[210（|rt)ejmumn(t)|2]

为了消除对于相位的依赖，对相位积分。则似然函数

2p(rN|m) =210p(rN|m,m)p(m)dm(20(12n)Nexp{2120T0T（|rt)ejmum(t)|2dt}dmT0 =21( =121212jm2*2)Nexp{21[（|rt)|dt2Re(er(t)u(t)dt)2Em]}dmm0)exp{0N12T0（|rt)|dt}exp[22Em]* •exp[Re(（rt)um(t)ejmdt)]dm0I 第三因式2T

在接收机中，对同一接收信号r(t)，分别计算M个似然函数p(rN|m)，

然后选取最大者进行判决。

选择最大似然函数等价于下式所表示的判决变量Qm为最大。

《数字通信》辅导材料 第3章 加性高斯噪声中数字信号传输 86

2Emn

Qmexp[]•I

式中，在等能假设下第一个因子无用。I表示第三因式的积分运算，即

*Iexp[Re(（rt)um(t)dt.ejm)]dm02T0* exp[Re(|（rt)um(t)dt|.ejm.ejm]dm002T exp[02*|（rt)um(t)dt|cos（mm）]dm0Tm exp[02*|（rt)um(t)dt|cosm]dm0xTT* =2I[|（rt）um(t)dt|]00

上式中 m=mm m,m~U[0,2] m~U[0,2]。

因此，判决变量Qm可以表示为（略去2）

*mQmexp[E]I[|（rt)u0nm(t)dt|]n02T

式中，

I0(x)1220exp(xcos)d 为零阶修正Bessel函数。若M元信号波形等能量，则Qm式中指

数因子为常数，可略去。又因I0(x)为单调函数，且N0为常数，则判决变量Qm等价于判决变量：

*Um|r(t)um(t)dt| m=1,2,...,M0T

《数字通信》辅导材料 第3章 加性高斯噪声中数字信号传输 87

（注：相关后取模）

1 P(m)M等概的，等能量的，EmE m~ U[0，2]随机相位均匀分布，信道噪声z(t)为非白结论：假定M元信号是：

根据最大似然函数准则，得到M元随相信号的最佳接收的判决规则为：

判决变量Ummax，判决m成立（或发um(t)）。

由判决规则，我们不难得到M元随相信号的最佳解调器的结构。

MFu*1|.|t)(T包络检测U1选取u*2(Tt)包络检测U2判决最大值*uM(Tt)dt包络检测UM

（非相干检测）

随相信号最佳接收机的另一种形式为平方律检测器，但比上一种形式复杂得多。

《数字通信》辅导材料 第3章 加性高斯噪声中数字信号传输 88

注：第一类零阶修正Bessel函数表达式：

12

I0(x)20excosd 积分形式

xkI0(x)kk02k! 级数形式

2近似式：

x2I0(x)14ex/4, 当 x1 时2

I0(x)ex, 当 x1 时2x

当x>0时，I0(x)为x的单调升函数。

2011-4-2讲至此处，王文娟来电话说督导组可能要来。