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江苏省常州市奔牛高中、田家炳高中、二中等学校联考2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

2022-04-12 来源:意榕旅游网
2016-2017学年江苏省常州市奔牛高中、田家炳高中、二中等学

校联考高一(上)期中数学试卷

一.填空题:本大题共14小题,每小题3分,共42分.

1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=x+1,x∈A},则A∩B= . 2.lg+lg的值是 . 3.函数y=+lg(4﹣x)的定义域为 . 4.已知幂函数的图象过点(2,),则幂函数的解析式f(x)= . 5.函数y=loga(x﹣1)﹣1(a>0且a≠1)必过定点 . 6.已知函数f(x)=

.若f(a)=2,则a= .

7.函数f(x)=x|x﹣1|的单调减区间为 . 8.函数y=x+

的值域为 .

9.已知函数f(x)=2x+log3x的零点在区间(k,k+1)上,则整数k的值为 . 10.B={x|mx+1=0}, 已知集合A={x|x2﹣9x﹣10=0},且A∪B=A,则m的取值集合是 .11.已知函数y=

的定义域为R,则m的取值范围是 .

12.已知定义在[﹣2,2]上的函数f(x),当x∈[﹣2,2]都满足f(﹣x)=f(x),且对于任意的a,b∈[0,2],都有取值范围为 .

<0(a≠b),若f(1﹣m)<f(m),则实数m的

13.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 .

14.已知函数f(x)=x2﹣4|x|+1,若f(x)在区间[a,2a+1]上的最大值为1,则a的取值范围为 .

二.解答题,共6题,共58分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.求解下列各式的值: (1)(2)(2)

16.已知函数f(x)=

+(﹣2017)0+(3)

+lg6﹣lg0.02.

的定义域为集合A,B={x∈Z|3<x<11},C={x∈

R|x<a或x>a+1}. (1)求A,(∁RA)∩B;

(2)若A∪C=R,求实数a的取值范围.

17.已知函数f(x)=2x﹣

(x∈R).

(1)讨论f(x)的奇偶性;

(2)若2xf(2x)+mf(x)≥0对任意的x∈[0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围. 18.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%. (1)请分析函数y=

+1是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;

作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.

(2)若该公司采用函数模型y=

19.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x﹣1.

(1)求f(x)的函数解析式;

(2)作出函数f(x)的简图,写出函数f(x)的单调减区间及最值. (3)若关于x的方程f(x)=m有两个解,试说出实数m的取值范围.(只要写出结果,不用给出证明过程)

20.已知函数f(x)=x2+.

(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;

(2)当a=16时,判断f(x)在x∈(0,2]上的单调性并用定义证明;

(3)试判断方程x3﹣2016x+16=0在区间(0,+∞)上解的个数并证明你的结论.

2016-2017学年江苏省常州市奔牛高中、田家炳高中、二

中等学校联考高一(上)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.填空题:本大题共14小题,每小题3分,共42分.

1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=x+1,x∈A},则A∩B= {2,3,4} . 【考点】交集及其运算.

【分析】利用已知条件求出集合B,然后求解交集即可.

【解答】解:集合A={1,2,3,4},B={y|y=x+1,x∈A}={2,3,4,5}, 则A∩B={2,3,4}. 故答案为:{2,3,4}. 2.lg

+lg的值是 1 .

【考点】对数的运算性质.

【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.

==1. 【解答】解:

故答案为:1.

3.函数y=+lg(4﹣x)的定义域为 {x|﹣2≤x<4} . 【考点】对数函数的定义域. 【分析】由

即可求得函数y=

+lg(4﹣x)的定义域.

【解答】解:依题意得,解得﹣2≤x<4.

故函数y=+lg(4﹣x)的定义域为{x|﹣2≤x<4}. 故答案为:{x|﹣2≤x<4}.

4.已知幂函数的图象过点(2,

),则幂函数的解析式f(x)= .

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.

【分析】用待定系数法,设出幂函数的解析式,求出α的值即可. 【解答】解:设幂函数的解析式为y=xα,(α∈R); ∵函数的图象过点(2,), ∴2α=, ∴α=; ∴y=

故答案为:

5.函数y=loga(x﹣1)﹣1(a>0且a≠1)必过定点 (2,﹣1) . 【考点】对数函数的图象与性质.

【分析】根据对数函数的图象恒过(1,0)点,然后利用函数图象的平移即可得到答案. 【解答】解:因为y=logax的图象恒过(1,0)点,

又y=loga(x﹣1)﹣1的图象是把y=logax的图象右移1个单位,下移1个单位得到的, 所以y=loga(x﹣1)﹣1的图象必过定点(2,﹣1). 故答案为:(2,﹣1).

6.已知函数f(x)=【考点】分段函数的应用. 【分析】由函数f(x)=

,分类讨论可得满足条件的a值. .若f(a)=2,则a= 4 .

【解答】解:f(x)=当x≤0时,f(x)=2x=2, 解得:x=1(舍去);

当x>0时,f(x)=log2x=2, 解得:x=4; 综上可得:x=4, 故答案为:4;

7.函数f(x)=x|x﹣1|的单调减区间为 .

【考点】函数的单调性及单调区间.

【分析】根据所给的带有绝对值的函数式,讨论去掉绝对值,得到一个分段函数,在同一坐标系中画出函数的图象或者是利用二次函数的性质来解题. 【解答】解:当x>1时,f(x)=x2﹣x, 当x≤1时,f(x)=﹣x2+x, 这样就得到一个分段函数,

在同一坐标系中画出函数的图象或者利用二次函数的性质, 有单调减区间是(,1) 故答案为:(,1)

8.函数y=x+

的值域为 [2,+∞) .

【考点】函数的值域.

【分析】利用单调性法求函数的值域.注意定义域范围. 【解答】解:由题意:函数y=x+是一个复合函数,其定义域为{x|x≥2} 将函数y看成两个函数y1=x,

复合而成,

∵函数y1=x,

在x∈[2,+∞)都是单调增函数,

根据单调性的在同一定义域的性质:增函数+增函数=增函数, ∴当x=2时,函数y取得最小值,即ymin=2, 可得函数y=x+的值域为[2,+∞). 故答案为:[2,+∞).

9.已知函数f(x)=2x+log3x的零点在区间(k,k+1)上,则整数k的值为 0 . 【考点】二分法求方程的近似解.

【分析】确定函数的定义域为(0,+∞)与单调性,再利用零点存在定理,即可得到结论.

【解答】解:函数的定义域为(0,+∞),易知函数在(0,+∞)上单调递增, ∵f(1)=2+0>0,

当x=0时,20=1,当→0+时,log3x→﹣∞, ∴f(0)<0

∴函数f(x)=2x+log3x的零点一定在区间(0,1), ∴k=0, 故答案为:0

10.已知集合A={x|x2﹣9x﹣10=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,则m的取值集合是

【考点】集合的包含关系判断及应用.

【分析】集合A={x|x2﹣9x﹣10=0}={﹣1,10},由A∪B=A,可得B⊆A.分类讨论:m=0时,B=∅.m≠0,B={﹣},进而得出.

【解答】解:集合A={x|x2﹣9x﹣10=0}={﹣1,10}, ∵A∪B=A,∴B⊆A.

∵B={x|mx+1=0},m=0时,B=∅. m≠0,B={﹣},

∴﹣=﹣1或10,解得m=1,m=可得:m的取值集合是故答案为:

11.已知函数y=

的定义域为R,则m的取值范围是 [0,8] . .

. .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】把函数y=

立.然后对m分类讨论得答案. 【解答】解:∵函数y=

的定义域为R,

的定义域为R,转化为mx2﹣mx+2≥0对任意实数x恒成

∴mx2﹣mx+2≥0对任意实数x恒成立. 若m=0,不等式化为2≥0,恒成立; 若m≠0,则

,解得0<m≤8.

综上,m的取值范围是[0,8]. 故答案为:[0,8].

12.已知定义在[﹣2,2]上的函数f(x),当x∈[﹣2,2]都满足f(﹣x)=f(x),且对于任意的a,b∈[0,2],都有取值范围为 ﹣1≤m< .

【考点】函数的周期性.

【分析】由题意,函数f(x)在[﹣2,2]上是偶函数,且单调递减,由f(1﹣m)<f(m),得f(|1﹣m|)<f(|m|),从而﹣2≤|m|<|1﹣m|≤2,即可求出实数m的取值范围. 【解答】解:由题意,函数f(x)在[﹣2,2]上是偶函数,且单调递减, ∵f(1﹣m)<f(m), ∴f(|1﹣m|)<f(|m|), ∴﹣2≤|m|<|1﹣m|≤2, ∴﹣1≤m<, 故答案为﹣1≤m<.

<0(a≠b),若f(1﹣m)<f(m),则实数m的

13.=已知函数f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是 [﹣,﹣2] .

【考点】函数单调性的性质.

【分析】根据二次函数的性质以及反比例函数的性质得到关于a的不等式组,解出即可. 【解答】解:由题意得:

解得:﹣≤a≤﹣2, 故答案为:[﹣,﹣2].

14.已知函数f(x)=x2﹣4|x|+1,若f(x)在区间[a,2a+1]上的最大值为1,则a的取值范围为 [﹣0]∪{} .

【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【分析】f(x)=

,令f(x)=1可得 x=﹣4,或x=0,或 x=4.当

﹣1<a≤0时,应有2a+1≥0,由此求得a的取值范围,当a>0时,应有2a+1=4,由此求得a的值,综合可得a的取值范围.

【解答】解:函数f(x)=x2﹣4|x|+1是偶函数,图象关于y轴对称. 且f(x)=

,令f(x)=1可得 x=﹣4,或x=0,或 x=4.

若f(x)在区间[a,2a+1]上的最大值为1,∴a<2a+1,解得a>﹣1. 当﹣1<a≤0时,应有2a+1≥0,由此求得﹣≤a≤0. 当a>0时,应有2a+1=4,解得 a=. 综上可得,a的取值范围为[﹣0]∪{}, 故答案为[﹣0]∪{}.

二.解答题,共6题,共58分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.求解下列各式的值: (1)(2)(2)

+(﹣2017)0+(3)

+lg6﹣lg0.02.

【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【分析】(1)根据指数幂的运算性质计算即可. (2)根据对数的运算性质计算即可. 【解答】解:(1)

(2)原式=|lg3﹣2|+lg300=2﹣lg3+lg3+2=4.

16.已知函数f(x)=

的定义域为集合A,B={x∈Z|3<x<11},C={x∈

R|x<a或x>a+1}. (1)求A,(∁RA)∩B;

(2)若A∪C=R,求实数a的取值范围.

【考点】交、并、补集的混合运算;并集及其运算. 【分析】(1)根据函数成立的条件即可求A,(∁RA)∩B;

(2)根据A∪C=R,建立条件关系即可求实数a的取值范围. 【解答】解:(1)∵

解得5≤x<8,

∴A=[5,8)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

B={4,5,6,7,8,9,10}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴(∁RA)∩B={4,8,9,10}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)∵A∪C=R, ∴

解得5≤a<7﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

17.已知函数f(x)=2x﹣

(x∈R).

(1)讨论f(x)的奇偶性;

(2)若2xf(2x)+mf(x)≥0对任意的x∈[0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的判断.

【分析】(1)求出函数的定义域为R,再由f(﹣x)=﹣f(x)可得函数f(x)=2x﹣

奇函数;

(2)由2xf(2x)+mf(x)≥0对任意的x∈[0,+∞)恒成立,可得m≥﹣(22x+1),求出22x+1的最大值得答案.

【解答】解 (1)由题意,x∈R, 由f(﹣x)=2﹣x﹣

=

﹣2x=﹣f(x),知f(x)是奇函数;

(2)当x=0时,m∈R. x∈(0,+∞)时,要使即

∵x>0时,2x﹣

≥0恒成立,

>0恒成立,

≥0,

∴22x+1+m≥0,即m≥﹣(22x+1),

∴m≥﹣(20+1)=﹣2. 综上,m∈[﹣2,+∞).

18.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.

(1)请分析函数y=+1是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;

作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.

(2)若该公司采用函数模型y=

【考点】函数模型的选择与应用.

【分析】(1)设奖励函数模型为y=f(x),根据“奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,说明在定义域上是增函数,且奖金不超过9万元,即f(x)≤9,同时奖金不超过投资收益的20%.即f(x)≤.

1000](2)先将函数解析式进行化简,然后根据函数的单调性,以及使g(x)≤9对x∈[10, 恒成立以及使g(x)≤对x∈[10,1000]恒成立,建立不等式,求出相应的a的取值范围.【解答】解:(1)对于函数模型y=f(x)=

+1,

当x∈[10,1 000]时,f(x)为增函数,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣

f(x)max=f(1 000)=

+1=

+1<9,所以f(x)≤9恒成立,﹣﹣﹣

+1≤f(10)=﹣

<0,

又因为当x∈[10,1 000]时f(x)﹣=﹣

所以f(x)≤恒成立,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 故函数模型y=﹣﹣﹣﹣

(2)对于函数模型y=g(x)=当3a+20>0,即a>﹣

,即g(x)=10﹣

+1符合公司要求.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

时递增,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

为使g(x)≤9对于x∈[10,1 000]恒成立, 即要g(1 000)≤9,3a+18≥1 000,即a≥为使g(x)≤对于x∈[10,1 000]恒成立, 即要

≤5,即x2﹣48x+15a≥0恒成立,

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

即(x﹣24)2+15a﹣576≥0(x∈[10,1 000])恒成立,又24∈[10,1 000], 故只需15a﹣576≥0即可, 所以a≥

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

综上,a≥,故最小的正整数a的值为328.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣

19.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x﹣1. (1)求f(x)的函数解析式;

(2)作出函数f(x)的简图,写出函数f(x)的单调减区间及最值. (3)若关于x的方程f(x)=m有两个解,试说出实数m的取值范围.(只要写出结果,不用给出证明过程)

【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法.

【分析】(1)当x<0时,﹣x>0,由已知中当x≥0时,f(x)=x2﹣2x﹣1,及函数f(x)是定义在R上的偶函数,可求出当x<0时函数的解析式,进而得到答案,

(2)由二次函数的图象画法可得到函数的草图;根据图象下降对应函数的单调递减区间,分析出函数值的取值范围后可得到答案; (3)由图象可得结论.

【解答】解:(1)当x<0时,﹣x>0,f(﹣x)=x2+2x﹣1. ∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(﹣x)=f(x)

∴f(x)=x2+2x﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =∴f(x)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分

(2)函数图象如图所示

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

单调减区间为(﹣∞,﹣1],[0,1]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

f(x)min=﹣2,函数没有最大值(注:不说明最大值情况扣1分)﹣﹣

(3)m∈{﹣2}∪(﹣1,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

20.已知函数f(x)=x2+.

(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;

(2)当a=16时,判断f(x)在x∈(0,2]上的单调性并用定义证明;

(3)试判断方程x3﹣2016x+16=0在区间(0,+∞)上解的个数并证明你的结论. 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【分析】(1)对a分类讨论,计算f(﹣x)与±f(x)的关系即可判断出奇偶性. (2)当a=16时,f(x)=x2+

,任取0<x1<x2≤2,作差f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)

,判断符号即可证明.

(3)利用函数的单调性、函数零点判定定理即可得出. 【解答】解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称. ①a=0时,f(﹣x)=x2=f(x),∴f(x)是偶函数. ②a≠0时,f(﹣x)≠±f(x),∴f(x)是非奇非偶函数. (2)当a=16时,f(x)=x2+

,任取0<x1<x2≤2,

=(x1﹣x2)

则f(x1)﹣f(x2)=

∵0<x1<x2≤2,∴x1﹣x2<0,0<x1x2<4,0<x1+x2<4. ∴(x1﹣x2)

>0,即f(x1)﹣f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2).

∴f(x)在x∈(0,2]上是单调递减函数. (3)结论:方程在(0,+∞)上共有两个解.

证明:当a=16时,任取2≤x1<x2,则同理可证f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. ∴x3﹣2016x+16=0在的解即为方程x2+令g(x)=f(x)﹣2016, ∴当x∈(0,2)时,由

=16000+

>2016得

>0.

﹣2016=0,x∈(0,+∞)的解.

且f(2)=12<2016得g(2)<0,

又g(x)的图象在x∈(0,2]的解上是不间断的曲线,由零点存在定理知函数在x∈[0,2]上有一个零点,又由g(x)在x∈(0,2]上是单调递减函数,所以函数在[0,2]上只有一个零点.

当x∈(2,+∞)时,由f(2)=12<2016,且f在x∈[2,+∞)上是单调递增函数得g(2)<0,

g的图象在(2,+∞)上是不间断的曲线,

由零点存在定理知函数在x∈[2,+∞)有一个零点,又由g(x)在x∈(2,+∞)调递增知函数在x∈(2,+∞)只有一个零点.

2016年12月1日

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