董烨

学员编号：HZ0028277 年 级：初三 课 时 数：3 学员姓名：董烨 辅导科目： 学科教师：徐凯 授课类型 T C（圆专题复习） T 授课日期及时段 2014-3-25 17:30-19:30 回顾复习圆的基本概念 性质 定理 圆的面积和弧长的公式 圆及相关问题的求解和证明方教学目的 法 把握中考重难点 教学内容 一.知识回顾 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心. ABBO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为例1如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OAt，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是( ) 例2、(如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD． (1)求证：A、E、C、F四点共圆； (2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND． 1 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . 上一点，若∠CEA＝28，则∠ABD＝ 例3．（2009年北京市）AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC°. 例4、如图，⊿ABC内接于⊙O，AD是⊿ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，⊿ABE与⊿ADC相似吗？请证明你的结论。 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 例4、如图：弧AC等于弧BC，D，E分别是半径OA和OB的中点，CD与CE 的大小有什么关系？为什么？ 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分 . 例5、AB是⊙O的直径，CDAB于点E，CDB30°，⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为( ) A．3cm 2 B．3cm D．9cm C．23cm 例6．(2009年济南)如图，O的半径OA5cm，弦AB8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是 cm． 2 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

例7、已知：如图，M是⌒3cm． AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4(1)求圆心O到弦MN的距离； (2)求∠ACM的度数． 知识点5：确定圆的条件 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 . M A C B O · N 例8.（2011安徽）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4）， 则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A.（－1，2） B.（1，－1） C.（－1，1） D.（2，1）. 知识点6：点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离， 位置关系 数量(d与r)的大小关系 例9、在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a , ⊙A的半径为2.下列说法中，不正确的是( ) ．．． A．当a＜5 时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5 时，点B在⊙A内 C．当a＜1 时，点B在⊙A外 D．当a＞5 时，点B在⊙A外 知识点7：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交 、相切、相离． 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d＜r d＝r d＞r 3 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表： 位置关系 公共点个数 数量关系 例10、菱形对角线的交点O，以O为圆心，以O•到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为( ) A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 例11.（2010河南）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是( ) A.3≤OM≤5； B.4≤OM≤5； C.3＜OM＜5； D.4＜OM＜5 例12. 如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心，2cm长为半径作⊙M，若点M在OB边上运动，则当OM= cm时，⊙M与OA相切。 知识点8：切线的判定与性质 相离 0 d＞r 相切 1 d＝r 相交 2 d＜r 判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有 的直线是圆的切线。 ②到圆心的距离等于 的直线是圆的切线。 ③经过半径的外端点并且 于这条半径的直线是圆的切线。、 切线的五个性质：①切线与圆只有 公共点；②切线到圆心的距离等于圆的 ；③切线垂直于经过切点的 ；④经过圆心垂直于切线的直线必过 。⑤经过切点垂直于切线的直线必过 。 例13、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD 交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． C （1）求证：BC与⊙O相切； （2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数． 例14.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，E 过点D作DE⊥AC，垂足为E． C （1）求证：AB=AC； A O D B A G O D E F B 4 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

（2）求证：DE为⊙O的切线； （3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长． 知识点9：切线长定理 经过圆外一点作圆的切线，这点与 切点 之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角 . 例15、如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是_ _． 例16、（2010浙江杭州）如图, 已知△ABC,ACBC6，C90．O是AB的中点， ECAOP ⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延 长交CB的延长线于点G. 则CG . FB 知识点10：三角形内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，三角形内切圆的圆心叫三角形的 . 例17、已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则⊙O的面积为__________. 例18、如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是APB上任一点（与端点A、C B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． P D （1）求弦AB的长； A B E O （2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； 5 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

（3）记△ABC的面积为S，若 知识点11：圆和圆的位置关系 S＝43，求△ABC的周长. 2DE设两圆半径分别为R和r。圆心距为d。(R＞r) 1. 两圆外离4. 两圆内切 _____________； 2. 两圆外切_____________； 5. 两圆内含_____________； 3. 两圆相交______________. ______________；

例19、如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O1,⊙O2均与⊙O的弧AB相切,且O1O2∥l1( l1为水平线)，⊙O1,⊙O2的半径均为30 mm,弧AB的最低点到l1的距离为30 mm,公切线l2与l1间的距离为100 mm.则⊙O的半径为( ) 单位：mm l2 A.70 mm B.80 mm B A C.85 mm D.100 mm l1 例20、如图6，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若ADB100，则ACB的度数为 A．35 B．40 C．50 D．80 例21、 已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是( ) A．0d1 知识点14圆的面积公式是S=______，扇形的面积公式是S扇形=______或______. 例22、已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧长为 cm（结果保留）． 例23、如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A．6cm C．8cm B．35cm D．53cm 剪去

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B．d5 C．0d1或d5 D．0≤d1或d5 13 知识点15圆锥的侧面展开图是______，它的弧长是圆锥的底面______，半径是圆锥的________，令圆锥底面圆半径为r，侧面展开图的弧长为l，则圆锥侧面积公式S侧=______，全面积S全面积=__________；再令圆锥的母线长为R，侧面展开图的圆心角为n°，则r，R，n，360之间满足的的关系式是________. 例24、如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为( ) A．R=2r B．R= 课堂总结： 1.准确理解圆的有关概念及性质，会确定点与圆、直线和圆、圆和圆的位置关系； 2.熟练运用垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理，圆周角与圆心角的关系定理及其推论解决问题； 3.掌握圆的切线的性质与判定定理的应用； 4.了解三角形的内心、外心的区别及联系； 5.会计算弧长及扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积. 解题时会经常用到以下知识点： 垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理，圆周角与圆心角关系定理；圆的切线的性质与判定的应用；圆和圆的位置关系；三角形的内切圆、外接圆的区别及联系；弧长及扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积. 课后练习： 一．选择题 1.下面三个命题：（1）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形；（2）同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；（3）等弧所对的弦相等。 其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.(2011山西)如图4，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ADC=70°，则∠ABD的度数为（ ） A.50° B.40° C.30° D.20° 3.（2011济宁）已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为9 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2 的长是（ ） A．11 cm B．7 cm C．11 cm或7cm D．以上都不对 4.（2011湖南）如图，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的花圃， 若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则花圃的周长为（ ） A．12m B．24m C．18m D．20m 9r C．R=3r D．R=4r 45如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠CDB＝30°, ⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为（ ） A．（第4题图） 3cm 2B．3cm C．23cm D．9cm 6．⊙O的半径为10cm，弦AB＝12cm，则圆心到AB的距离为（ ） 7 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

A． 2cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm 7．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结OC，若OC＝5，CD＝8,，则tan∠COE＝（ ） A．3434 B． C． D． 55439．（2009年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（ ） 10．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ） A．120° B．125° C．135° D．150° 11．（2009年福州）如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ） A．15 B．20 C．15+52 D．15+55 12．如图，⊙0是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（ ） A．40° B．30° C．45° D．50° CAODB A．正弦 B．余弦 C．正切 D．余切 13.AB是半⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么CD：AB等于∠BPD的（ ） 14.两圆半径长分别是R和r，圆心距为d，当d2+R2-r2=2dR时，两圆的位置关系是（ ） A．一定内切 B．一定外切 C．相交 D．内切或外切 8 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

二．填空题 1．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB10，A30°，则BC的长为 ． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上 ，OD∥AC，若BD＝1，则BC的长为 3.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为2和3，则∠BAC的度数为 。 4．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为

m． AB）AB上一点，OC⊥AB，垂5．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的，点O是这段弧的圆心，C是足为D，AB300m，则这段弯路的半径是 m． CD50m， 6. 如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ． 7．已知⊙O的直径AB8cm，C为⊙O上的一点，BAC30°，则BC ＝ _ cm． 8．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ． 9．如图，O的半径OA5cm，弦AB8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是

cm． CAEB D 上一点，若∠CEA＝28，则∠ABD＝ 10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC °. 11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数等于 ． 12.为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC 夹角为120°，AB的长为30cm，贴布部分BD的长为20cm，则贴布部分的面积约为__________cm．（π取3） 9 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

2 13.如图5，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm， 则弦AB的长为 cm． 14.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的⊙O相切于点E，AB＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积为 。 三．计算 证明题 1. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的圆交BC于D，交AB于E，若∠BAC＝50°CDEO求AE、ED、DC的度数。 ABA6题图 EBDOC 2.如图，AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切与B，AC交⊙O于E，点D是BC边的中点，连结DE． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为3，DE3，求AE． O E A C B D 3．如图所示，圆O是△ABC的外接圆，BAC与ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、DC． （1）求证：BDDCDI； （2）若圆O的半径为10cm，BAC120°，求△BDC的面积． 10 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

4.在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(1，．点0)，点C的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴（如图7所示）B与点A关于原点对称，直线yxb（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标； （2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径． y D 4 C 3 2 1 A B 1O 1 图7 5.（2011年浙江）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，ACCD，ACD120， （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积. 0yxbM x 1.圆1与圆2的半径为1和3，连接O1O2，交圆O2于点P，O1O28，若将圆O1绕点按顺时针方向旋转，360Po则它们共相切_______次． 2.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）． （1）试写出点A，B之间的距离d（厘米） 与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？ N M A B 11 www.1smart.org 中国领先的中小学教育品牌

3.已知：⊿ABC是⊙O的内接三角形，AB+AC=12cm，AD是⊿ABC的高，若AD=3cm，⊙O的半径是y，AB的长为x。 （1）求y与x之间的函数关系式。 （2）AB为多长时，⊙O的面积最大？最大面积是多少？ BCDOA14.如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=，3延长OE到点F，使EF=2OE． （1）求⊙O的半径； （2）求证：BF是⊙O的切线．

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