回归方程和独立性检验知识点

回归方程和独立性检验知识点

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回归分析和独立性检验

一、回归分析

ˆxaˆbˆ （x叫做解释变量，y叫做预报变量） 1、回归直线方程 yˆ其中b(xi1nnix)(yiy)＝

ixyii1nninxy （由最小二乘法得出，考试时给出此公式中的一nx2(xi1x)2xi12i个）

ˆx （ 此式说明：回归直线过样本的中心点(x，y) ，也就是平均值点。 ） ˆyba2、几条结论：

（1）回归直线过样本的中心点(x，y)。

（2）b>0时，y与x正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y与x负相关，散点图呈下降趋

势。

（3）斜率b的含义（举例）：

如果回归方程为y=+2， 说明x增加1个单位时，y平均增加个单位； 如果回归方程为y=－+2，说明x增加1个单位时，y平均减少个单位。 （4）相关系数r表示变量的相关程度。 范围：r1，即 1r1

，相关性越强。r0时，y与x正相关；r0时，y与x负相关。 r越大．．

1] （5）相关指数R2表示模型的拟合效果。 范围：R2[0，，拟合效果越好，（这时：残差平方和越小，残差点在带状区域内的分布比较R2越大．．

均匀，

带状区域宽度越窄，拟合精度越高）。

R2表示解释变量x对于预报变量y变化的贡献率。

例如：R20.64，表明“x解释了64%的y变化”，或者说“y的差异有64%是由x引起的”。

（6）线性回归模型 ybxae， 其中e叫做随机误差。（y是由x和e共同确定的。）

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二、独立性检验

1、原理：假设性检验（类似反证法原理）。

一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，

发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为(1－P),

n(adbc)22也就是“X和Y有关系”。（表中的k就是K2的观测K(ab)(cd)(ac)(bd)值，即kK2） 2、22列联表： y2 y1 x1 x2 a c 总计 （考试给出）

部分对照表（考试时会给出用到的一部分数据）：

P kK2 b d ab cd nabcd 总计 ac bd 3、范围：K2(0,)； 性质：K2越大，说明变量间越有关系。 ．．．．三、典型例题

例1、右表中是生产某种产品x（吨）与相应消耗的煤y（吨）记录数据： （1）画出数据的散点图； （2）求线性回归直线方程； （3）估计生产7吨产品时，消耗的煤约为多少吨？

解：（1）散点图如右。从图中可以看出x与y正相关。 （2）（提示：把原数据表抄一遍，并且增加2行和1列， 计算出后面需要用到的数据） ˆxaˆbˆ 设回归直线方程为 yx x y 2ix 3 y 4 5 6 3 4 642510-29 3 16 25 36 4 5 6 3 4 12 20 27 x86 2ix4.5 y3.5 ˆ66.544.53.5＝， b8644.52-6ˆx3.50.74.50.35 ˆyb a-10-8xiyi xyii66.5 所以，回归方程为：y0.7x0.35

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（3）当x7时，y0.770.355.25 所以，估计生产7吨产品时，消耗的煤约为．．吨。

例2、为了考察某药物预防疾病的效果，现对105

人进行试验调查，得到22列联表。试判断：服用药物和患病之间是否有关系？

解：n105，a10，b45，c20，d30

K2105(10304520)

555030752 服用药 未服用药 总计 患病 10 20 30 未患病 45 30 75 总计 55 50 105 > （提示：运算时尽量先约分化简，再计算） 所以，有1－＝%的把握认为服用药物和患病之间有关系。

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