高中数学平面直角坐标系中点与直线之间的距离学法指导

高中数学平面直角坐标系中点与直线之间的距离

距离问题，包括平面内与空间中的各种距离，本质上都是化归到点与点之间的距离来解决的．下面，对平面直角坐标系中点与直线之间的距离问题，我们作一个简单的归纳．

（1）点

AxByC0(A2B20)x,y00P（）与直线之间的距离

d|Ax0By0C|A2B2。实质

上是过点P作直线的垂线（垂足为M），距离就是该点与垂足连线|PM|的长度（如图1）。注意以下特例：

①点P（x0,y0）与直线x=a之间的距离d|x0a|，如图2。更特殊地，点P（x0,y0）与y轴的距离d|x0|，如图3。

②点P（x0,y0）与直线y=b之间的距离d|y0b|，如图4。更特殊地，点P（x0,y0）与x轴的距离d|y0|，如图5。

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（2）若l1与l2的方程分别为AxByC10与AxByC20(A∥l2，则l1与l2之间的距离度。

d|C2C1|A2B22B20,C1≠C2），即l1

，其实质为两平行直线的公垂线夹在两直线间的长

例1、求直线4x3ya0与8x6yb0之间的距离。

|2ab|82621|2ab|10解：4x3ya08x6y2a0。

d。

点评：这类问题不难，记准公式是关键。

1022、已知点（1,cos）到直线xsinycos1的距离为4，且

例，求。

解：直线方程化为xsinycos10，由点线距离公式得：

|sincos21|sin2cos211|sinsin2|44。

∵

0,sinsin202，

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∴

sinsin2114sin24sin1sin426。

点评：由点到直线距离公式入手，注意到角的范围，去掉绝对值符号，转化为关于sin的一元二次方程，问题得到解决．

例3、求过点A（3，5），且与原点距离最远的直线方程．

解：如图6所示，l是过点A（3，5）且垂直于OA的直线，l′是过点A（3，5）的任意直线，原点O与l，l′的距离分别为OA，OA′。由直角三角形的三边关系知OAOA，所以，直线l就是满足条件的直线。即3x5y340。

kOA533k1y5(x3)35，5由直线方程的点斜式得，

点评：解析几何研究的本质就是数形结合．本题若引入斜率k作为参数写出直线方程，然后写出距离的表达式，则问题转化为函数的最值问题，思路自然，但不易得解．所以，公式也不是万能的，解这类题时要有数形结合的意识．

例4、求过点P（－1，2）且与点A（2，3）和B（－4，5）距离相等的直线方程。

解：①当所求直线的斜率不存在时，过点P（－1，2）的直线方程为x1，与点A（2，3）的距离d1|12|3，与点B（－4，5）的距离d2|14|3,d1d2，题设被满足。

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②当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y2k(x1)，即kxyk20，依题意得

d1|2k3k2|k12，

d2|4k5k2|k12,|3k1||3k3|

k111xy203，所以所求方程为33，即x3y50。

综上，满足条件的直线方程为x1或x3y50

点评：本题再次表明，必须熟记公式．本题还提示我们：凡涉及到直线的斜率时，一定要对斜率是否存在（斜率不存在不等于直线不存在）进行讨论，否则就会对而不全．

（责任编辑 徐利杰）

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